¿Qué es la transformada de Fourier?

Traducción al chino

Transformée de Fourier tiene muchas traducciones al chino, las más comunes son "Transformada de Fourier", "Transformada de Fourier", "Transformada de Fourier", "Transformación de Fourier", "Transformación de Fourier", etc. Por conveniencia, en este artículo nos referiremos a ella como "transformada de Fourier".

Aplicaciones

La transformada de Fourier se utiliza en física, teoría de números, matemáticas combinatorias, procesamiento de señales, teoría de probabilidades, estadística, criptografía, acústica, óptica, oceanografía y dinámica estructural. utilizado en otros campos (por ejemplo, en el procesamiento de señales, un uso típico de la transformada de Fourier es descomponer la señal en componentes de amplitud y componentes de frecuencia).

Descripción general

* La transformada de Fourier puede expresar una función que cumple ciertas condiciones como una función trigonométrica (función seno y/o coseno) o una combinación lineal de sus integrales. Existen muchas variaciones diferentes de la transformada de Fourier en diferentes campos de investigación, como la transformada de Fourier continua y la transformada de Fourier discreta. Inicialmente el análisis de Fourier se propuso como una herramienta para el análisis analítico de procesos térmicos (ver: "Matemáticas Aplicadas para Problemas Deterministas en Ciencias Naturales" por Lin Jiaqiao y Siegel, Science Press, Beijing. El título original del libro es C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Aplicado a problemas deterministas en las ciencias naturales, Macmillan Inc., Nueva York, 1974).

*La transformada de Fourier pertenece al análisis armónico.

* La transformada inversa de la transformada de Fourier es fácil de encontrar y la forma es muy similar a la transformada directa.

* La función de base seno es la función propia de la operación diferencial; lo que hace que la solución diferencial lineal de la ecuación se pueda transformar en la solución de la ecuación algebraica con coeficientes constantes. En un sistema físico lineal invariante en el tiempo, la frecuencia es una propiedad invariante, por lo que la respuesta del sistema a excitaciones complejas puede determinarse mediante. combinando sus respuestas a señales sinusoidales de diferentes frecuencias.

* El teorema de convolución señala que la transformada de Fourier puede transformar operaciones de convolución complejas en operaciones de producto simples, proporcionando así un medio simple para calcular la convolución. >

* La forma discreta de la transformada de Fourier se puede calcular rápidamente utilizando una computadora digital (el algoritmo se llama algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT)

Propiedades básicas

. Propiedades lineales

La transformada de Fourier de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus respectivas transformadas. La descripción matemática es: Si las transformadas de Fourier \mathcal[f] y \mathcal[g] de las funciones f \left( x\right ) y g \left(x \right) existen, α y β son coeficientes constantes arbitrarios, Entonces \mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]; el operador de transformada de Fourier \mathcal se puede normalizar en un operador positivo;

Frecuencia propiedad de desplazamiento

Si la función f \left( x\right ) tiene una transformada de Fourier, entonces para cualquier número real ω0, la función f(x) e^{i \omega_ x} también tiene una Transformada de Fourier y \mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) . En la fórmula, el cuerpo rizado\mathcal es el operador de acción de la transformada de Fourier, el cuerpo plano F representa el resultado de la transformación (función compleja), e es la base del logaritmo natural e i es la unidad imaginaria\sqrt;

Relaciones diferenciales

Si el límite de la función f \left( x\right ) cuando |x|\rightarrow\infty es 0, y la transformada de Fourier de su función derivada f' (x) existe, entonces hay \mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)], es decir, la transformada de Fourier de la función derivada es igual a la transformada de Fourier de la original función multiplicada por el factor?6?1 iω.

De manera más general, si f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0, y \mathcal[f^{ ( k)}(x)] existe, entonces \mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f], es decir, la transformada de Fourier de la derivada de orden k es igual al original La transformada de Fourier de la función se multiplica por el factor (?6?1 iω)k.

Propiedades de convolución

Si las funciones f \left( x\right ) y g \left( x\right ) están ambas en (-\infty,+\infty), es un producto absolutamente posible, entonces la transformada de Fourier de la función de convolución f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi existe, y\mathcal [f *g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] . La forma inversa de la propiedad de convolución es\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)], es decir, la producto de dos funciones La transformada inversa de Fourier es igual a la convolución de su respectiva transformada inversa de Fourier.

Teorema de Parseval

Si la función f \left( x\right ) es integrable y el cuadrado es integrable, entonces \int_{-\infty}^{+\infty} f ^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega . donde F(ω) es la transformada de Fourier de f(x).

Diferentes variantes de la transformada de Fourier

Transformada de Fourier continua

Artículo principal: Transformada de Fourier continua

En general, si la palabra "Fourier transformada" no está precedida por ningún calificador, se refiere a la "transformada de Fourier continua". La "transformada de Fourier continua" expresa la función integrable al cuadrado f(t) en la forma integral o en serie de una función exponencial compleja.

f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega ) e^{i\omega t}\,d\omega.

La fórmula anterior en realidad representa la transformación inversa de la transformada continua de Fourier, es decir, la función f(t) en el dominio del tiempo es expresado como el dominio de la frecuencia La integral de la función F(ω). A su vez, su transformación directa representa la función F(ω) en el dominio de la frecuencia como la forma integral de la función f(t) en el dominio del tiempo. Generalmente, la función f (t) se puede llamar función original y la función F (ω) se llama función imagen de la transformada de Fourier. La función original y la función imagen forman un par de transformada de Fourier.

Una generalización de la transformada continua de Fourier se llama transformada fraccionaria de Fourier.

Cuando f (t) es una función impar (o función par), el componente coseno (o seno) desaparecerá y la transformación en este momento se puede llamar transformación coseno (transformación coseno) o transformación seno. (transformada sinusoidal).

Otra propiedad digna de mención es que cuando f(t) es una función puramente real, se cumple F(?6?1ω) = F(ω)*.