Serie de Fourier y transformada de Fourier fáciles de entender (1)

Una serie es una función que conecta los elementos de una secuencia con signos más. Un ejemplo es:

Esta forma de sumar muchos términos es una serie.

La función tiene la siguiente forma:

En ingeniería, a menudo nos encontramos con varias formas de onda periódicas. Es difícil encontrar una función para expresar estas formas de onda, o la función original no puede analizar bien las características de la onda.

Entonces necesitamos encontrar una función que se aproxima a la función original, y esto tiene buenas características y es conveniente para el análisis.

El matemático francés Fourier descubrió que cualquier función periódica puede representarse mediante una serie infinita compuesta por funciones seno y funciones coseno.

Mira una animación para entender esta frase.

La forma de onda de la derecha se sintetiza a partir de varias formas de onda básicas (funciones trigonométricas) de la izquierda.

A continuación se proporciona la fórmula matemática de las series de Fourier.

La función original se compone de innumerables. Esta fórmula también es muy sencilla de entender. Es un término constante, porque las funciones seno y coseno fluctúan hacia arriba y hacia abajo en la posición del punto 0. Si desea alejarlo del punto 0, debe agregar este término de compensación. Por supuesto, también puedes entenderlo como .

Es la combinación de innumerables sen y cos, en la que es equivalente a la de la animación anterior, que representa la amplitud, que es el tamaño del radio del círculo. Equivale a los coeficientes 1, 3, 5 y 7 de la animación, que representan la frecuencia, que es la velocidad a la que el círculo gira una vez. Entonces, ¿es fácil de entender?

representa esta frecuencia, entonces, ¿qué representa? es el período de la función, y la función de es construir una forma de onda con un período de, pero a medida que aumenta, la frecuencia de la onda se vuelve cada vez más alta. Por ejemplo, todas son funciones de period , pero el período mínimo de ya no es , por lo que su frecuencia aumenta.

Aquí se enfatiza que la serie de Fourier es para funciones periódicas y la transformada de Fourier es para funciones no periódicas.

Cuando muchos blogueros interpretan las series de Fourier, primero hablan del dominio del tiempo, el umbral de frecuencia, el dominio de frecuencia complejo y la fórmula de Euler. De hecho, esas son diferentes formas de expresión en diferentes escenarios, pero la esencia es la misma. Será más fácil de entender si primero comprende la fórmula anterior y la amplía en función de ella.

¿Recuerdas nuestro objetivo? Encuentre una función para aproximarse a la función original, la apariencia ya está ahí:

Solo necesitamos averiguarlo y podemos obtenerla.

Entonces, aquí hay una premisa. Veamos la forma de onda que debe resolverse:

No sabemos cómo se ve la función original, pero sabemos que en cada x. Valor, después de todo, esta ola la probamos nosotros mismos.

Entonces, la forma más sencilla de resolverlo es construir n ecuaciones y resolver una ecuación lineal de n variables, como se muestra arriba. Aquí hay una constante y la cantidad la define usted mismo.

Por supuesto, lo anterior es una solución para estudiantes de primaria, así que no lo tomes en serio.

Antes de presentarle la solución de la serie de Fourier, primero veamos la serie de Fourier con período y agreguemos:

La solución correspondiente es:

Para encontrar estas soluciones, primero debemos entender la ortogonalidad de las funciones trigonométricas. La mejor manera de entender la ortogonalidad de las funciones trigonométricas es comenzar con funciones cuyo período es .

¿Qué es la ortogonalidad? En álgebra lineal, ortogonalidad significa que dos vectores son perpendiculares, como se muestra en la siguiente figura (A).

y ortogonalidad, se expresa como, es decir, el producto interno de los dos vectores es igual a 0

Y la ortogonalidad de la función se expresa en forma de integral :

Que es el producto interno de . Cuando es cero, significa que las dos funciones son ortogonales en el intervalo.

Volviendo a la serie de Fourier, el siguiente es el conjunto de todas las funciones trigonométricas de la serie de Fourier.

{ }

Dos funciones trigonométricas cualesquiera son ortogonales entre y bajo ciertas condiciones. Los detalles son los siguientes:

Hay muchas pruebas en Internet, yo. No entraré en detalles aquí.

Veamos cómo usar las propiedades anteriores para conectar

Integre ambos lados de la función al mismo tiempo

Mover al frente.

Se puede ver que, según la ortogonalidad anterior, ambos elementos son iguales a 0, por lo que la función anterior es igual a

Entonces:

Lo siguiente Para resolverlo

multiplica ambos lados, y luego integra ambos lados al mismo tiempo

se moverá al frente.

De manera similar, según la ortogonalidad, es igual a 0. Y solo el elemento no es 0, y los demás serán 0, entonces:

En la sección de ortogonalidad, yo dio, Por lo tanto:

En cuanto al método de búsqueda, es el mismo, así que no entraré en detalles aquí.

Lo anterior es el proceso de solución de series de Fourier, pero aquí definimos la frecuencia como.

Cómo extender la serie de Fourier a cualquier período y la transformada de Fourier, en las series de Fourier y la transformada de Fourier fáciles de entender (2)

Lo presentaremos en detalle en el siguiente Capítulo. Espero que el contenido anterior pueda ayudarte.