Red de conocimiento del abogados - Ley de patentes - Buscando un resumen de los puntos de conocimiento en los cursos obligatorios 1 y 2 de matemáticas de la escuela secundaria

Buscando un resumen de los puntos de conocimiento en los cursos obligatorios 1 y 2 de matemáticas de la escuela secundaria

1. Función exponencial

(1) Operaciones de exponentes y potencias exponenciales

1. El concepto de fórmula radical: Generalmente, si, entonces se llama. la potencia de la raíz (nésima raíz), donde 1, y ∈*.

Cuando es un número impar, la raíz cuadrada de un número positivo es un número positivo, y la raíz cuadrada de un número negativo El número es un número negativo. En este momento, la raíz cuadrada está representada por un símbolo. La fórmula se llama radical (radical), aquí se llama exponente radical (exponente radical) y se llama radicando (radicando). .

Cuando es un número par, la potencia de un número positivo Hay dos raíces, y estos dos números son opuestos entre sí. En este momento, se representa la raíz cuadrada positiva de un número positivo. por el símbolo, y la raíz cuadrada negativa está representada por el símbolo -. La raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa se pueden combinar en ±(0). De esto podemos obtener: Los números negativos no tienen raíces pares; 0 es 0, escrito como 0.

Nota: Cuando es un número impar, cuando es un número par,

2. Potencia del exponente fraccionario

El significado de la potencia del exponente fraccionario. se estipula un número positivo:

La potencia del exponente fraccionario positivo de 0 es igual a 0, y la potencia del exponente fraccionario negativo de 0 no tiene sentido

Señale: Después del significado del Se estipula la potencia del exponente fraccionario, el concepto de exponente se generaliza a partir del exponente entero. Cuando se trata de exponentes de números racionales, las propiedades operativas de las potencias de exponentes enteros también se pueden extender a potencias de exponentes de números racionales.

3. Las propiedades operativas de las potencias exponentes de números reales

(1)?;

(2);

(3).

(2) Función exponencial y sus propiedades

1. El concepto de función exponencial: Fundamento general, la función se denomina función exponencial (función exponencial), donde .

2. Imagen (tuxiang) y propiedades de la función exponencial

a 10 a1

Propiedades de la función característica de la imagen (tuxiang)

El dominio de definición de la función que se extiende infinitamente en las direcciones positiva y negativa de los ejes x e y es R

La gráfica es una función asimétrica, no impar y no par, respecto del origen y el eje y

La gráfica de la función es ambos El rango de valores de la función sobre el eje x es R

Todos los gráficos de funciones pasan por el punto fijo (0, 1)

Mirando de izquierda a derecha derecha,

La gráfica aumenta gradualmente, mirando de izquierda a derecha,

La imagen disminuye gradualmente, función creciente y función decreciente

Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 1. La gráfica en el primer cuadrante Las ordenadas de la imagen son todas menores que 1

Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todas menores que 1. Las ordenadas de las imágenes en el segundo cuadrante son todas mayores que 1

La tendencia ascendente de la imagen La tendencia ascendente de la imagen se vuelve más pronunciada y más lenta El valor de la función comienza a crecer lentamente y después de alcanzar un cierto valor. , la tasa de crecimiento es muy rápida; el valor de la función comienza a disminuir muy rápidamente y, después de alcanzar un cierto valor, la velocidad de disminución es lenta.

Nota: utilizando la monotonicidad de la función, combinada con la imagen; , también podemos ver:

(1) En [a, b], el rango de valores es o;

(2) Si, entonces toma todos los números positivos si y solo; if;

(3) Para funciones exponenciales, siempre hay;

(4) En ese momento, si, entonces;

2. /p>

(1) Logaritmo

1. El concepto de logaritmo: Generalmente, si, entonces el número se llama El logaritmo de la base se escribe como: (-base, -número real, -logaritmo)

Explicación: ○1 Preste atención a las restricciones en la base, y;

○2;

○3 Pague atención al formato de escritura de los logaritmos.

Dos logaritmos importantes:

○1 Logaritmos de uso común: logaritmos con base 10;

○ 2 Logaritmo natural: El logaritmo de un logaritmo con un número irracional como base.

2. Conversión de logaritmo y expresión exponencial

Expresión exponencial del logaritmo

Logaritmo base←→base de potencia

Logaritmo←→exponente

Número real ←→potencia

(2) Logaritmo Propiedades operativas de

Si , y,,, entonces:

○1?;;

○2-;

○3 .

Nota: El fórmula de cambio de base

(, y;, y;).

Utilice la fórmula de cambio de base para derivar las siguientes conclusiones (1);

(2) Función logarítmica

1. El concepto de función logarítmica: una función, y se llama función logarítmica, donde es la variable independiente y el dominio de la función es (0, ∞). ).

Nota: ○1 La definición de función logarítmica es similar a la de función exponencial. Ambas son definiciones formales. Preste atención para distinguirlas.

Por ejemplo:, no son funciones logarítmicas, pero solo pueden llamarse funciones logarítmicas.

○2 Las restricciones sobre la base de funciones logarítmicas:, y.

2. Propiedades de las funciones logarítmicas:

a 10 a1

Propiedades de las funciones características de la imagen

Las gráficas de funciones están todas en el lado derecho de la y -eje El dominio de la función es (0, ∞)

La imagen es asimétrica respecto al origen y el eje y, una función no par ni impar

El El rango de valores de la función se extiende infinitamente en las direcciones positiva y negativa del eje y. Para R

Todas las gráficas de funciones pasan por el punto fijo (1, 0)

Mirando desde de izquierda a derecha,

La gráfica aumenta gradualmente cuando se mira de izquierda a derecha,

La imagen disminuye gradualmente, función creciente y función decreciente

Las ordenadas de la La imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 0. Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 0

Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todas menores que 0. Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todos menores que 0

(3) Función de potencia

1 Definición de función de potencia: Generalmente, una función de la forma se llama función de potencia. donde es una constante.

2. Resumen de las propiedades de las funciones de potencia.

(1) Todas las funciones de potencia existen en la definición (0, ∞) y todas las gráficas pasan por ella. el punto (1, 1);

Cuando (2), la gráfica de la función potencia pasa por el origen, y es una función creciente en el intervalo. En particular, en ese momento, la gráfica de. la función de potencia La gráfica es convexa hacia abajo; en ese momento, la gráfica de la función de potencia es convexa hacia arriba;

Cuando (3), la gráfica de la función de potencia es una función decreciente en el intervalo. el primer cuadrante, cuando se mueve de la derecha al origen Cuando , la imagen se acerca infinitamente al semieje positivo del eje a la derecha del eje Cuando tiende a , la imagen se acerca infinitamente al semieje positivo del eje. encima del eje.

Capítulo 3 Aplicación de Funciones

1. Raíces de ecuaciones y ceros de funciones

1. , los números reales que los hacen verdaderos se llaman ceros de la función.

2. El significado del punto cero de la función: El punto cero de la función es la raíz real de la ecuación, es decir, la abscisa de la intersección de la gráfica de la función y el eje. . Es decir:

La gráfica de la función con raíces reales de la ecuación se cruza con el eje y la función tiene puntos cero.

Cómo encontrar el punto cero de la ecuación. función:

Encontrar el punto cero de la función:

○1 (método algebraico) para encontrar las raíces reales de una ecuación;

○2 (método geométrico) método) Para ecuaciones para las cuales no se puede usar la fórmula para encontrar la raíz, se puede comparar con la gráfica de la función. Conéctelas y use las propiedades de la función para encontrar los puntos cero.

4. puntos de la función cuadrática:

Función cuadrática.

1) △gt; la ecuación tiene dos raíces reales desiguales, la gráfica de la función cuadrática tiene dos puntos de intersección con la eje, y la función cuadrática tiene dos puntos cero.

2) △=0, la ecuación tiene dos raíces reales iguales (doble raíz), la gráfica de la función cuadrática tiene una intersección con el eje, y la función cuadrática tiene un punto cero doble o un punto cero de segundo orden.

3) △lt 0, la ecuación no tiene raíces reales, dos La gráfica de una función cuadrática no tiene intersección con el eje; , y una función cuadrática no tiene puntos cero.

Capítulo 1 Conceptos de conjuntos y funciones

1 Conceptos relacionados con conjuntos

1, El significado de conjunto. : Ciertos objetos específicos se reúnen para formar un conjunto y cada objeto se denomina elemento.

2. Tres características de los elementos de un conjunto:

1. Certeza de los elementos; 2. Mutualidad de los elementos; 3. Desorden de los elementos

Explicación: (1) Para un conjunto dado, los elementos del conjunto son ciertos y cualquier objeto es un elemento del conjunto dado o no.

(2) En cualquier conjunto dado, dos elementos cualesquiera son objetos diferentes. Cuando el mismo objeto se clasifica en un conjunto, solo se cuenta como un elemento.

(3) Los elementos de los conjuntos son iguales y no hay orden. Por lo tanto, para determinar si dos conjuntos son iguales, solo es necesario comparar si sus elementos son iguales y no hay orden. Es necesario comprobar si el orden de disposición es el mismo.

(4) Las tres características de los elementos de un conjunto hacen que el conjunto en sí sea determinista y holístico.

3. Representación de un conjunto: {… } Como {jugadores de baloncesto de nuestra escuela}, {Pacífico, Atlántico, Océano Índico, Océano Ártico}

1. para representar un conjunto: A ={Jugadores de baloncesto de nuestra escuela}, B={1, 2, 3, 4, 5}

2. Métodos de representación de conjuntos: enumeración y descripción.

Nota: Conjuntos de números de uso común y su notación:

El conjunto de números enteros no negativos (es decir, el conjunto de números naturales) se anota como: N

El conjunto de números enteros positivos N* o N conjunto de números enteros Z conjunto de números racionales Q conjunto de números reales R

Sobre el concepto de "pertenencia a"

Elementos de un conjunto se suele representar con letras latinas minúsculas, como por ejemplo: a es un elemento del conjunto A, se dice que a pertenece al conjunto A y se marca como a∈A, por el contrario, a no pertenece al. establece A y está marcado como?A

Método de enumeración: enumere los elementos del conjunto uno por uno y luego use una llave entre corchetes.

Método de descripción: describe los atributos públicos de los elementos de la colección y escríbalos entre llaves para representar el método de la colección. Un método que utiliza ciertas condiciones para indicar si ciertos objetos pertenecen a este conjunto.

①Método de descripción del lenguaje: Ejemplo: {Triángulo que no es un triángulo rectángulo}

②Método de descripción de la fórmula matemática: Ejemplo: Desigualdad x-3gt; el conjunto solución de 2 es {x? R| x-3gt; 2} o {x| x-3gt; 2}

4. Conjunto finito Conjunto que contiene un número finito de elementos

2. Conjunto infinito Conjunto que contiene infinitos elementos

3. Un ejemplo de un conjunto que no contiene ningún elemento en el conjunto vacío: {x|x2=-5} 2. Relaciones básicas entre conjuntos 1. Relación "Contiene" - subconjunto Nota: Hay dos posibilidades (1) A es parte de B; (2) A y B son el mismo conjunto. Por el contrario: el conjunto A no está incluido en el conjunto B, o el conjunto B no incluye el conjunto A, denotado como A B o B A2. Relación "igual" (5≥5, y 5≤5, entonces 5=5) Ejemplo: Sea A={x|x2-1=0} B={-1, 1} "Los elementos son iguales"

Conclusión: Para dos conjuntos A y B, si cualquier elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B, y al mismo tiempo, cualquier elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A, decimos que el conjunto A es igual al conjunto B, es decir: A=B

① Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. AíA

②Subconjunto propio: Si AíB, y A1 B, entonces el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, denotado como A B (o B A)

③Si AíB, BíC, Entonces AíC

④ Si AíB y BíA al mismo tiempo, entonces A=B

3 Un conjunto que no contiene ningún elemento se llama conjunto vacío, denotado como Φ<. /p>

Estipulaciones: Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, y el conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.

3. Operaciones de configuración

1. Definición de intersección: Generalmente, el conjunto compuesto por todos los elementos que pertenecen a A y B se denomina intersección de A y B.

Regístrelo como A∩B (pronunciado "A cruza B"), es decir, A∩B={x|x∈A, y x∈B}.

2. Definición de unión: Generalmente, el conjunto compuesto por todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B se denomina unión de A y B.

Registrado como: A∪B (pronunciado "A y B"), es decir, A∪B={x|x∈A, o x∈B}.

3. Propiedades de intersección y unión: A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A, A∪A = A,

A ∪ φ= A, A∪B = B∪A.

4. Conjunto completo y conjunto complementario

(1) Conjunto complementario: Supongamos que S es un conjunto y A es un conjunto de S Subconjunto (es decir, un conjunto compuesto por todos los elementos de S que no pertenecen a A, se denomina complemento (o resto) del subconjunto A en S

Registrado como: CSA, es decir, CSA ={x | x?S y x?A}

CsA

(2) Conjunto completo: Si el conjunto S contiene lo que queremos Todos los elementos de cada conjunto estudiado, este conjunto se puede considerar como un conjunto completo. Generalmente representado por U.

(3) Propiedades: ⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

2. /p>

1. El concepto de función: supongamos que A y B son conjuntos de números no vacíos. Si de acuerdo con una determinada relación correspondiente f, para cualquier número x en el conjunto A, habrá un número único f (x) y Corresponde, entonces f: A→B se llama función del conjunto A al conjunto B. Descrito como: y=f(x), x∈A. Entre ellos, x se llama variable independiente, el rango de valores A de x se llama dominio de la función, el valor y correspondiente al valor de x se llama valor de la función y el conjunto de valores de la función {f(; x)| x∈A} se llama valor del dominio de la función.

Nota: 2. Si solo se da la fórmula analítica y=f(x) sin especificar su dominio, el dominio de la función se refiere al conjunto de números reales que pueden hacer que esta fórmula tenga sentido ;3. El dominio de definición y el rango de valores de la función deben escribirse en forma de conjunto o intervalo.

Suplemento de dominio

El conjunto de números reales x que pueden hacer que la fórmula funcional tenga significado se llama dominio de la función. La base principal para encontrar el dominio de la función es: ( 1) El denominador de la fracción no es igual a cero; (2) El radicando de una raíz cuadrada par no es menor que cero (3) El número verdadero de la expresión logarítmica debe ser mayor que cero; del exponente y expresión logarítmica debe ser mayor que cero y No igual a 1. (5) Si la función se compone de algunas funciones básicas mediante cuatro operaciones aritméticas, entonces su dominio es el conjunto de valores de x que forman cada parte significativo (6) El exponente es de base cero. No puede ser igual a cero (6) El dominio de la función en el problema real también debe garantizar que el problema real sea significativo.

(Nota también: el conjunto solución del grupo de desigualdad es el dominio de la función.)

Los tres elementos que constituyen una función: dominio, correspondencia y rango de valores

Nota nuevamente: (1) Los tres elementos que constituyen una función son dominio, correspondencia y rango de valores. Dado que el dominio del valor está determinado por el dominio y la relación de correspondencia, si el dominio y la relación de correspondencia de dos funciones son completamente consistentes, se dice que las dos funciones son iguales (o la misma función) (2) Dos funciones son iguales cuando y Solo si sus dominios y correspondencias son exactamente iguales, independientemente de las letras que representan variables independientes y valores de funciones. Cómo juzgar la misma función: ① La expresión es la misma; ② El dominio de definición es consistente (ambos puntos deben estar presentes al mismo tiempo)

(Consulte el ejemplo relacionado 2 en la página 21 del libro de texto)

Suplemento de dominio de valor

(1). El rango de una función depende del dominio de definición y de las reglas correspondientes, sin importar qué método se utilice para encontrarla. El rango de una función, su dominio de definición debe considerarse primero (2). Debe estar familiarizado con las funciones lineales y las funciones cuadráticas. El rango de valores de las funciones, las funciones exponenciales, logarítmicas y las funciones trigonométricas es la base para resolver el valor. gama de funciones complejas.

3. Resumen del conocimiento del gráfico de funciones

(1) Definición: en el sistema de coordenadas rectangular plano, con función y=f(x), x en (x∈A) El conjunto C de puntos P(x, y) donde el valor de la función y es la abscisa y el valor de la función y es la ordenada se llama imagen de la función y=f(x), (x ∈A).

Las coordenadas (x, y) de cada punto de C satisfacen la relación funcional y=f(x), y a su vez, cada conjunto de pares de números reales ordenados x, y es el punto de coordenadas (x , y), todo en C. Es decir, se registra como C={ P(x, y) | y= f(x), x∈A}

Imagen C Generalmente es suave. curva continua (o línea recta), o puede estar compuesta de varias curvas o puntos discretos con como máximo un punto de intersección con cualquier línea recta paralela al eje Y.

(2) Método de dibujo

A. Método de dibujo de puntos: según la fórmula analítica y el dominio de la función, encuentre algunos valores correspondientes de xey y enumere ellos como (x, y) Dibuje los puntos correspondientes P (x, y) en el sistema de coordenadas para las coordenadas y finalmente conecte estos puntos con curvas suaves.

Método de transformación de imágenes (consulte el obligatorio). 4 funciones trigonométricas)

Hay tres métodos de transformación comúnmente utilizados, a saber, transformación de traslación, transformación de expansión y transformación de simetría

(3) Función:

1. ver las propiedades de la función; 2. Usar el método de combinar números y formas para analizar ideas de resolución de problemas. Mejorar la velocidad de resolución de problemas.

Descubre errores en la resolución de problemas.

4． Comprenda rápidamente el concepto de intervalos

(1) Clasificación de intervalos: intervalos abiertos, intervalos cerrados, intervalos semiabiertos y semicerrados; (2) intervalos infinitos (3) representación de intervalos en eje numérico;

5. ¿Qué es el mapeo?

En términos generales, suponiendo que A y B son dos conjuntos no vacíos, si se sigue una determinada regla correspondiente f, entonces para cualquier elemento x en el conjunto A, en el conjunto B Hay un elemento único y correspondiente a él, entonces se llama correspondencia f: A B es una aplicación del conjunto A al conjunto B. Denotado como "f: A B"

Dado un mapeo del conjunto A a B, si a∈A, b∈B y el elemento a corresponde al elemento b, entonces llamamos elemento b elemento a La imagen de. el elemento a se llama la imagen original del elemento b

Explicación: La función es un mapeo especial y el mapeo es una correspondencia especial ① Se determinan los conjuntos A, B y la regla correspondiente f ② La regla de correspondencia tiene; "direccionalidad", es decir, enfatiza la correspondencia del conjunto A al conjunto B, que generalmente es diferente de la correspondencia de B a A ③ Para el mapeo f: A→B, debe satisfacer: (Ⅰ) Cada elemento en; el conjunto A tiene una imagen en el conjunto B, y la imagen es única (II) Diferentes elementos en el conjunto A pueden tener la misma imagen correspondiente en el conjunto B (III) No es necesario Cada elemento en el conjunto B tiene su imagen original en el conjunto A; .

Representaciones de funciones de uso común y sus respectivas ventajas:

1 La gráfica de la función puede ser una curva continua, una línea recta, una polilínea, un punto discreto, etc., preste atención a juicio sobre si una gráfica es la base para la gráfica de una función 2. Método analítico: se debe indicar el dominio de la función 3. Método gráfico: al dibujar con el método de dibujo de puntos, se debe prestar atención a: determinar el dominio; de la función; simplificar la fórmula analítica de la función; observar las características de la función; 4 Método de lista: las variables independientes seleccionadas deben ser representativas y deben poder reflejar las características del dominio de definición.

Nota: Método analítico: valores de función fáciles de calcular. Método de lista: valores de función fáciles de encontrar. Método de imagen: valores de función fáciles de medir

Suplemento 1: Función por partes (consulte el libro de texto P24-25)

Hay diferentes expresiones analíticas en diferentes partes de la función de dominio. Al evaluar valores de funciones en diferentes rangos, las variables independientes deben sustituirse en las expresiones correspondientes.

La expresión analítica de una función por partes no se puede escribir como varias ecuaciones diferentes, pero se escriben varias expresiones diferentes del valor de la función y se incluyen entre llaves izquierdas, y se anotan los valores de las variables independientes de cada parte. (1) Una función por partes es una función, no la confunda con varias funciones (2) El dominio de una función por partes es la unión del dominio de cada segmento, y el dominio de valor es la unión de los dominios de valor de cada segmento; segmento.

Suplemento 2: Función compuesta

Si y=f(u), (u∈M), u=g(x), (x∈A), entonces y=f [g(x)]=F(x), (x∈A) se llama función compuesta de f y g.

Por ejemplo: y=2senX y=2cos(X2 1)

7. Monotonicidad de la función

(1). Función creciente

Supongamos que el dominio de la función y=f(x) es I. Si para dos variables independientes cualesquiera x1, x2 en un cierto intervalo D dentro del dominio I, cuando x1lt x2, ambas tienen f; (x1)lt; f(x2), entonces se dice que f(x) es una función creciente en el intervalo D. El intervalo D se llama intervalo monótono creciente de y=f(x) (ver claramente el concepto de intervalos monótonos en el libro de texto)

Si para los valores x1, x2 de dos variables independientes cualesquiera en el intervalo D, cuando x1lt; Cuando x2, f(x1)>f(x2) siempre existe, entonces se dice que f(x) es una función decreciente en este intervalo. El intervalo D se denomina intervalo decreciente monótono de y. =f(x).

Nota: 1. La monotonicidad de una función es una propiedad en un cierto intervalo dentro del dominio de definición, y es una propiedad local de la función;

2. Debe ser para dos variables independientes cualesquiera x1, x2 en el intervalo D; cuando x1lt;x2, siempre hay f(x1)lt;f(x2).

(2) Características de la imagen

Si la función y=f(x) es una función creciente o decreciente en un intervalo determinado, entonces la función y=f(x) se dice que está en Este intervalo tiene monotonicidad (estricta). En el intervalo monótono, la gráfica de la función creciente aumenta de izquierda a derecha y la gráfica de la función decreciente desciende de izquierda a derecha.

(3). Método para determinar el intervalo monótono y la monotonicidad de una función.

(A) Método de definición:

1 Tome cualquier x1, x2∈D y x1lt; hacer la diferencia f (x1) -f (x2); 3 deformación (generalmente factorización y fórmula 4 (es decir, juzgar el signo de la diferencia f (x1) -f (x2)); Calcula la monotonicidad de la función f(x) en un intervalo dado D).

(B) Método de la imagen (ver el ascenso y la caída de la imagen)_

Función compuesta f[g( La monotonicidad de la Naturaleza

u=g(x)

Aumento

Disminución

y=f(u)

Incremento

Disminución

Incremento

Disminución

y= f[g(x)]

Incremento

Disminución

Incremento

Nota: 1. El intervalo monótono de una función sólo puede ser un subintervalo de su dominio. Los intervalos con la misma monotonicidad no se pueden escribir juntos como su unión. 2. Recuerda que aprendimos el método derivado simple y fácil para determinar la monotonicidad en la electiva. ?

8. Paridad de funciones

(1) Funciones pares

Generalmente, para cualquier x en el dominio de la función f(x), f(-x)=f( x), entonces f (x) se llama función par.

（2）． Funciones impares

Generalmente, para cualquier x en el dominio de la función f(x), f(-x)=-f(x), entonces f(x) se llama función impar.

Nota: 1 Si una función es impar o par se llama paridad de la función. La paridad de la función es la propiedad general de la función, o puede no tener paridad. puede ser tanto una función impar como una función par.

2 De la definición de paridad de una función, se puede ver que una condición necesaria para que una función tenga paridad es que para cualquier x en el dominio de definición, entonces -x también debe ser un independiente variable en el dominio de definición (es decir, el dominio de definición simétrico con respecto al origen).

(3) Características de la gráfica de funciones con propiedades pares e impares

La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y la gráfica de una función impar es simétrica; sobre el origen.

Resumen: Los pasos de formato para usar definiciones para determinar la paridad de una función: 1. Primero determine el dominio de la función y determine si su dominio es simétrico con respecto al origen 2. Determine la relación entre f; (-x) y f(x) Relación; 3 Llegue a la conclusión correspondiente: si f(-x) = f(x) o f(-x)-f(x) = 0, entonces f(x) es par función si f(-x) =-f (x) o f(-x)+f(x) = 0, entonces f(x) es una función impar.

Nota: La simetría del dominio de la función respecto al origen es una condición necesaria para que la función tenga paridad. Primero, verifique si el dominio de la función es simétrico con respecto al origen. Si es asimétrico, la función es una función no par ni impar. Si es simétrica, (1) luego determine de acuerdo con la definición (2). ) a veces determina la comparación f(-x)=±f(x) Si es difícil, puedes considerar juzgar si f(-x)±f(x)=0 o f(x)/f(-x)=± 1; (3) Utilice el teorema o la imagen de la función para juzgar

9. Expresión analítica de una función

(1). Método para expresar una función. Cuando se requiere la relación funcional entre dos variables, una es Se requieren las reglas correspondientes entre ellas y la segunda es encontrar el dominio de la función.

(2). Los principales métodos para encontrar la expresión analítica de la función son: método de coeficiente indeterminado, método de sustitución y método de eliminación de parámetros, etc., si se conoce la construcción de la expresión analítica de la función, se puede utilizar el método de coeficiente indeterminado cuando la expresión; Cuando se conoce la función compuesta f [g (x)], se puede utilizar el método de sustitución de elementos. En este momento, se debe prestar atención al rango de valores del elemento. Cuando la expresión conocida es relativamente simple, se puede utilizar el método de coincidencia; también se puede usar; si se conoce la expresión de la función abstracta, el método de resolver el sistema de ecuaciones y eliminar parámetros se usa a menudo para encontrar f(x)

10. El valor máximo (mínimo) de la función (consulte la página 36 del libro de texto para ver la definición)

1 Utilice las propiedades de la función cuadrática (método de combinación) para encontrar el valor máximo (mínimo) de la función 2 Utilice la imagen para encontrar el valor máximo (mínimo) de la función. El Valor 3 utiliza la monotonicidad de la función para determinar el valor máximo (pequeño) de la función: si la función y=f(x) aumenta monótonamente en el intervalo [a , b] y disminuye monótonamente en el intervalo [b, c], entonces la función y=f (x) tiene un valor máximo f(b) en x=b si la función y=f(x) disminuye monótonamente en el; intervalo [a, b] y aumenta monótonamente en el intervalo [b, c], entonces la función y=f (x) tiene un valor mínimo f(b) en x=b;

Capítulo 2 Básico Funciones Elementales

1. Funciones Exponenciales

(1) Operaciones sobre exponentes y potencias de exponentes

1. El concepto de fórmula radical: Generalmente, si , entonces se llama raíz n-ésima de , donde gt 1 y ∈ *.

Cuando es un número impar, la raíz cuadrada de un número positivo es un número positivo, y la raíz cuadrada de un número negativo es un número negativo. En este momento, la tercera raíz de está representada por el símbolo. La fórmula se llama radical (radical), aquí se llama exponente radical (exponente radical) y se llama radicando (radicando).

Cuando es un número par, hay dos raíces cuadradas de un número positivo, y estos dos números son opuestos entre sí. En este momento, la raíz cuadrada positiva de un número positivo está representada por el símbolo y la raíz cuadrada negativa está representada por el símbolo -. Las terceras raíces positivas y las terceras raíces negativas se pueden combinar en ± (gt; 0). De esto podemos obtener: No hay raíces cuadradas pares de números negativos; cualquier raíz de 0 es 0, denotada como .

Nota: Cuando es un número impar, , cuando es un número par,

2. Potencia del exponente fraccionario

El significado de la potencia del exponente fraccionario de un número positivo se estipula de la siguiente manera:

La potencia del exponente fraccionario positivo de 0 es igual a 0, y la potencia del exponente fraccionario negativo de 0 es La potencia no tiene significado

Señale: Después de definir el significado de la potencia del exponente fraccionario, el concepto de exponente se extiende del exponente entero al exponente del número racional, luego Las propiedades operativas de la potencia de exponente de números enteros también se pueden extender a la potencia de exponentes de números racionales.

3． Propiedades operacionales de potencias exponentes reales

(1) ·;

(2);

(3).

(2) Función exponencial y sus propiedades

1. El concepto de función exponencial: Generalmente, la función se llama función exponencial (exponencial), donde x es la variable independiente y la dominio de la función para R.

Nota: El rango de valores de la base de la función exponencial no puede ser un número negativo, cero o 1.

2. Imagen y propiedades de la función exponencial

agt; 1

0lt;

Propiedades de la función

Se extiende infinitamente en las direcciones positiva y negativa de los ejes xey

El dominio de definición de la función es R

La imagen trata sobre el origen y la asimetría del eje y

Funciones no pares ni impares

Las gráficas de funciones están todas por encima del eje x

El rango de valores de la función es R

Todos los gráficos de la función pasan por el punto fijo (0, 1)

Mirando de izquierda a derecha,

El gráfico aumenta gradualmente

Mirando de izquierda a derecha,

La imagen disminuye gradualmente

Función creciente

Función decreciente

Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 1

Las ordenadas de las imágenes en el primer cuadrante son todas menores que 1

Las ordenadas de las imágenes en el segundo cuadrante son todas menores que 1

Las ordenadas de las imágenes en el segundo cuadrante son menores que 1 Las coordenadas verticales de la imagen son todas mayores que 1

La tendencia ascendente de la imagen es cada vez más pronunciada

La tendencia ascendente de la imagen es cada vez más lenta

El valor de la función comienza a crecer más lentamente, después de alcanzar un cierto valor , la tasa de crecimiento es extremadamente rápida;

El valor de la función comienza a disminuir extremadamente rápido y, después de alcanzar un cierto valor, la tasa de disminución es más lenta;

Nota: use funciones La monotonicidad de también se puede ver en la imagen:

(1) En [a, b], el rango de valores es o;

(2) Si, entonces, tome todos los números positivos; si y solo si;

(3) Para funciones exponenciales, siempre hay;

(4) Cuándo, si, entonces;

Dos, función logarítmica

(1) Logaritmo

1. El concepto de logaritmos: en términos generales, si , entonces el número se llama logaritmo con base y se registra como: (— base, — número real, — logaritmo)

Explicación: 1 Preste atención a las restricciones en la base, y ;

2 ;

3 Presta atención al formato de escritura de los logaritmos.

Dos logaritmos importantes:

1 Logaritmos comunes: logaritmos con base 10;

2 Logaritmos naturales: bases de números irracionales El logaritmo de un logaritmo.

Interconversión de formas logarítmicas y exponenciales

Forma exponencial logarítmica

Base logarítmica ←

→ Base de potencia

Logaritmo← → Exponente

Número real← → Potencia

(2) Propiedades operativas de los logaritmos

Si, y , , , entonces:

1 · +;

2 -;

Nota: La fórmula de cambio de base

( , y ; , y ; ).

Utilice la fórmula de cambio de fondo para derivar las siguientes conclusiones (1);

(2) Función logarítmica

1. El concepto de función logarítmica: función, y se llama función logarítmica, donde es la variable independiente y el dominio de la función es (0). , ∞ ).

Nota: 1 La definición de función logarítmica es similar a la de función exponencial. Ambas son definiciones formales. Preste atención a la distinción.

Por ejemplo: , no son funciones logarítmicas, pero solo pueden llamarse funciones logarítmicas.

2 Las limitaciones de la función logarítmica en la base: , y .

2. Propiedades de la función logarítmica:

agt; 1

0lt; p> Propiedades de la función

Las gráficas de la función están todas en el lado derecho del eje y

El dominio de la función es (0, +∞)

La gráfica trata sobre El origen y el eje y son asimétricos

La función no par ni impar

se extiende infinitamente en las direcciones positiva y negativa del eje y

El rango de valores de la función es R

Todos los gráficos de la función pasan por el punto fijo (1, 0)

Mirando de izquierda a derecha,

El gráfico aumenta gradualmente

Mirando de izquierda a derecha,

La imagen disminuye gradualmente

Función creciente

Función decreciente

Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 0

Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todas menores que 0

(3) Función de potencia

1. Definición de función potencia: Generalmente, una función de la forma se llama función potencia, donde es una constante.

2. Resumen de las propiedades de las funciones de potencia.

(1) Todas las funciones de potencia se definen en (0, ∞), y las gráficas pasan por el punto (1, 1);

Cuando (2), la función de potencia; La gráfica de pasa por el origen y es una función creciente en el intervalo. En particular, cuando , la gráfica de la función de potencia es convexa hacia abajo cuando , la gráfica de la función de potencia es convexa hacia arriba

(3) Cuando , la gráfica de la función de potencia es una función decreciente en; el intervalo. En el primer cuadrante, al acercarse al origen desde la derecha, la imagen se acerca al semieje positivo del eje infinitamente a la derecha del eje. Cuando tiende a , la imagen se acerca al semieje positivo del eje por encima del eje. infinitamente.

Capítulo 3 Aplicación de Funciones

1. Raíces de ecuaciones y ceros de funciones

1 El concepto de ceros de funciones: Para funciones, sean números reales. se llaman ceros de una función.

2. El significado del punto cero de la función: El punto cero de la función es la raíz real de la ecuación, es decir, la abscisa de la intersección de la gráfica de la función y el eje. .

Es decir:

La ecuación tiene raíces reales. La gráfica de la función se corta con el eje. La función tiene puntos cero.

3. Cómo encontrar el punto cero de una función:

Encontrar el punto cero de una función:

1 (Método algebraico) Encuentra las raíces reales de la ecuación;

2 (Método geométrico) Para ecuaciones para las cuales no se puede usar la fórmula raíz, puedes relacionarla con la gráfica de la función y usar las propiedades de la función para encontrar los puntos cero.

4. Puntos cero de la función cuadrática:

Función cuadrática.

1) △>0, la ecuación tiene dos raíces reales desiguales, la gráfica de la función cuadrática tiene dos intersecciones con el eje y la función cuadrática tiene dos puntos cero.

2) △=0, la ecuación tiene dos raíces reales iguales (raíces dobles), la gráfica de la función cuadrática tiene una intersección con el eje, y la función cuadrática tiene un punto doble cero o un segundo -orden punto cero.

3) △<0, la ecuación no tiene raíces reales, la gráfica de la función cuadrática no tiene intersección con el eje y la función cuadrática no tiene punto cero.

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