El proceso derivado de cosx xsinx

Solución: y=cosx xsinx, y'=-sinx sinx

xcosx=xcosx

La derivada (Derivada) también se llama valor de la función derivada, También conocido como microcociente, es un concepto básico importante en cálculo y una propiedad local de una función.

No todas las funciones tienen derivadas, y una función no necesariamente tiene derivadas en todos los puntos. Si una función tiene derivada en un punto determinado se dice que es diferenciable en ese punto, en caso contrario se dice que es indiferenciable. Sin embargo, una función diferenciable debe ser continua; una función discontinua no debe ser diferenciable.

Nombre chino

Derivado

Nombre extranjero

Derivado

Propuesto por

Newton, Leibniz

Época propuesta

Siglo XVII

Campos de aplicación

Matemáticas (cálculo), física

Evolución histórica

Origen

Hacia 1629, el matemático francés Fermat estudió el método de trazar tangentes a curvas y encontrar el valor extremo de funciones; hacia 1637, escribió un manuscrito "Métodos para; Encontrar valores máximos y mínimos". Al trazar una recta tangente, construyó la diferencia f(A E)-f(A), y el factor E encontrado es lo que llamamos la derivada f'(A).

Desarrollo

El desarrollo de la productividad en el siglo XVII impulsó el desarrollo de las ciencias naturales y la tecnología a partir de la investigación creativa de generaciones anteriores, grandes matemáticos como Newton y Leibniz partieron. diferentes campos. Comenzar a estudiar sistemáticamente el cálculo desde esta perspectiva. La teoría del cálculo de Newton se llama "fluidez". Llamó flujos a las variables y llamó flujos a la tasa de cambio de las variables, lo que equivale a lo que llamamos derivadas. Los principales trabajos de Newton sobre "Teoría del flujo" son "Encontrar el área de los lados curvos", "Método de cálculo utilizando ecuaciones polinómicas infinitas" y "Teoría del flujo y series infinitas". La esencia de la teoría del flujo se resume a continuación: El enfoque. está en la función de una variable más que en la ecuación de múltiples variables, radica en la composición de la relación entre el cambio de la variable independiente y el cambio de la función y, lo más importante, radica en determinar el límite de esta; relación cuando el cambio tiende a cero.

Función derivada

Si la función y=f(x) es diferenciable en cada punto del intervalo abierto, se dice que la función f(x) es diferenciable en el intervalo. En este momento, la función y = f (x) corresponde a un determinado valor de derivada para cada cierto valor de x en el intervalo, lo que forma una nueva función, que se denomina función de la función original y = f (x). función, registrada como y', f'(x), dy/dx o df(x)/dx, denominada derivada.

Los derivados son un pilar importante del cálculo. Newton y Leibniz contribuyeron a ello.

Significado geométrico

El significado geométrico de la derivada f'(x0) de la función y=f(x) en el punto x0: significa que la curva de la función está en el punto P0( x0, f(x0)) ) (el significado geométrico de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva función en este punto).

Cálculo de derivadas

El cálculo de la función derivada de una función conocida se puede calcular utilizando el límite de la relación de cambio según la definición de derivada. En los cálculos reales, las funciones analíticas más comunes pueden considerarse como la suma, diferencia, producto, cociente o resultados compuestos de algunas funciones simples. Siempre que se conozcan las derivadas de estas funciones simples, las derivadas de funciones más complejas se pueden calcular de acuerdo con las reglas de derivación de las derivadas.

La regla de derivación de derivadas

La función derivada de una función compuesta por la suma, diferencia, producto, cociente o combinación mutua de funciones básicas se puede deducir mediante la regla de derivación de funciones. Las reglas básicas de derivación son las siguientes:

1. Linealidad de derivación: derivar la derivación de una combinación lineal de una función es igual a derivar la derivación de cada parte primero y luego tomar la combinación lineal (es decir, la ecuación). 1).

2. La función derivada del producto de dos funciones: una derivada por dos, una por dos derivadas (es decir, fórmula ②).

3. La función derivada del cociente de dos funciones también es una fracción: (subderivada multiplicada por la madre-submultiplicada por la derivada madre) dividida por el cuadrado de la madre (es decir, fórmula ③).

4. Si hay una función compuesta, utilice la regla de la cadena para encontrar la derivación.

Propiedades de derivadas y funciones

Monotonicidad

(1) Si la derivada es mayor que cero, aumenta monótonamente si la derivada es menor que cero, disminuye monótonamente; la derivada igual a cero es el punto estacionario de la función, no necesariamente el punto extremo. Es necesario sustituir los valores en los lados izquierdo y derecho del punto de liquidación para encontrar las derivadas positiva y negativa para determinar la monotonicidad.

(2) Si la función conocida es una función creciente, la derivada es mayor o igual a cero; si la función conocida es una función decreciente, la derivada es menor o igual a cero;

Según el teorema básico del cálculo, para funciones diferenciables, existen:

Si la función derivada de una función es siempre mayor que cero (o siempre menor que cero) en una cierto intervalo, entonces la función aumenta monótonamente (o disminuye monótonamente) en este intervalo, este intervalo también se llama intervalo monótono de la función. El punto donde la función derivada es igual a cero se llama punto estacionario de la función. En dichos puntos, la función puede obtener un valor máximo o mínimo (es decir, un punto extremo sospechoso). Un juicio adicional requiere conocer el signo cercano de la función derivada. Para un punto satisfactorio, si hay un punto que es mayor o igual a cero en el intervalo anterior y menor o igual a cero en el intervalo siguiente, entonces es un punto de valor máximo, y viceversa, es un punto de valor mínimo. punto de valor.

La recta tangente de la función (curva azul) cambia cuando cambia x. El valor derivado de la función es la pendiente de la recta tangente. El verde representa un valor positivo, el rojo representa un valor negativo y el negro representa un valor cero.

Cóncava-convexidad

La concavidad-convexidad de una función diferenciable está relacionada con la monotonicidad de su derivada. Si la derivada de una función aumenta monótonamente en un determinado intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo en este intervalo; en caso contrario, es convexa hacia arriba. Si existe una función derivada de segundo orden, también se puede utilizar su positividad para juzgar. Si siempre es mayor que cero en un determinado intervalo, entonces la función en este intervalo es cóncava hacia abajo; de lo contrario, la función en este intervalo es convexa hacia arriba. El punto de división de la curva se llama punto de inflexión de la curva.

Función de potencia

La función de potencia se puede demostrar de la misma manera.

Para decirlo sin rodeos, la derivada es en realidad la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva y la tasa de cambio del valor de la función.

Es natural que el denominador mencionado anteriormente tienda a cero, pero no olvides que el numerador también puede tender a cero, por lo que la razón entre los dos puede ser un número determinado si el numerador tiende a cero. Si cierto número no es cero, entonces la relación será muy grande y puede considerarse infinita, lo que significa que la derivada que llamamos no existe.

Supongamos que y=x/x. Si x tiende a cero, el denominador se acercará a cero, pero su relación es 1, por lo que el límite es 1.

Curvas continuas y no diferenciables

Por ejemplo, la función de Weierstrass es un tipo de función de valor real que es continua en todas partes y no diferenciable en todas partes. La función de Weierstrass es una función que no se puede dibujar con un bolígrafo, porque la derivada de cada punto no existe y la persona que dibuja no puede saber en qué dirección dibujar cada punto. La pendiente de la función de Weierstrass en cada punto tampoco existe. La función de Weierstrass lleva el nombre del matemático alemán del siglo XIX Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897). Históricamente, la función de Weierstrass es un famoso contraejemplo matemático. Antes de Weierstrass, los matemáticos no tenían un conocimiento profundo de la continuidad de funciones. Muchos matemáticos creen que, excepto en algunos puntos especiales, una curva de función continua siempre tiene una pendiente en cada punto. La aparición de la función de Weierstrass ilustró la existencia de las llamadas funciones "mal condicionadas" y cambió la forma en que los matemáticos de la época veían las funciones continuas.