Descripción básica de la secuencia de Lucas

La fórmula general de la secuencia de Lucas es f(n)=[(1 √5)/2]^n [(1-√5)/2]^n

Primero defina los números enteros P y Q de modo que se cumpla la regla de juicio para ecuaciones cuadráticas de una variable: △ = P^2 - 4Q gt 0,

Así, obtenemos una ecuación x^2 - Px; Q = 0, cuya raíz para a, b.

La secuencia numérica de Lucas ahora está definida:

Un(P, Q) = (a^n - b^n) / (a-b) y Vn(P, Q) = a^n b^n

Donde n es un entero no negativo, U0(P, Q) = 0, U1(P, Q) = 1, V0(P, Q) = 2, V1( P , Q) = P,...

Tenemos las siguientes identidades relacionadas con la secuencia de Lucas:

Um n = UmVn - a^nb^nUm-n , Vm n = VmVn - a^nb^nVm-n

Um 1 = P*Um - Q*Um-1 , Vm 1 = P*Vm - Q*Vm-1 (tomar n = 1 )

U2n = UnVn , V2n = Vn2 - 2*Qn

U2n 1 = Un 1Vn - Qn , V2n 1 = Vn 1Vn - PQn

Si (P, Q ) = (1, -1), tenemos Un como número de Fibonacci,

Es decir, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 , 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, etc.

Y Vn es el Número de Lucas,

es decir, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, etc.

Si tomamos (P, Q) = (2, -1), tenemos Un como Número de Pell,

Es decir, 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, etc.

Y Vn es el Número Pell - Lucas (ver otro artículo "Secuencia Pell" para más detalles),

Es decir, 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198 , 478, 1154, 2786, 6726, etc.

Todas estas son secuencias bien conocidas en matemáticas.