¿Cuáles son los métodos para encontrar la fórmula general de una secuencia?
Método de acumulación
Encontrar la fórmula general de las cantidades 1, 1/2, 1/4, 1/7...
Solución: Primer vistazo en la secuencia 1 ,2,4,7...
Estudiando sus reglas encontramos:
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
Arriba Agregue las fórmulas para obtener:
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n- 1)+1 +1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
= 1+n(n-1)/2
=(n?-n+2)/2
Entonces 1, 1/2, 1/4, 1/7 La fórmula general es an=2/(n?-n+2).
La secuencia {an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1 ,n>= 2. Encuentra la fórmula del término general de an
Solución: an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a (n-1)=3^ (n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a( n-2)-a(n -3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
El resultado acumulado es: an-a1= 3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an= 3^n/2-1/2
Usa la relación entre Sn y an para resolver problemas
Suponga que sn es la suma de los primeros n términos de la secuencia an y SN= 3/2 de AN-1 para encontrar la fórmula general de AN
p>
Solución: Sn=3/2(an-1), entonces S(n-1)=3/2 (a(n-1)-1),
a[n ]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1] ), obtenemos a[n]=3a[n-1]
∴a[n] es una secuencia geométrica, la razón común es 3 y a1=S1=3/2(a1-1 ), la solución es a1=3
∴a[n]=3*3 ^(n-1)=3^n.
Supongamos que la suma de los términos anteriores de la secuencia {An} es Sn, A1=10.An+1=9Sn+10 Encuentra el término general de la secuencia {An} Fórmula
Solución: An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1 )=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
Entonces es la secuencia geométrica A1=10, q=10
An=10*10^(n- 1)=10^n
Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia {an}, donde todos los términos son números positivos, es Sn, y Sn=1/2(an+1/an ), encuentre la fórmula general de una
Solución 1:
Sn=1/2(an+1/an )
S(n-1) =Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
p>
Sn-S( n-1)=an
Multiplica las dos ecuaciones anteriores para obtener:
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1 =a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2} es el primer término de S1^2=1, y la tolerancia es 1 Secuencia aritmética
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√( n-1)
Solución 2:
Multiplicar ambos lados por 2an 2anSn=an?+1
2(Sn-Sn-1)Sn=(Sn -Sn-1)? +1
(Sn-Sn-1)2Sn- (Sn-Sn-1)=1
Sn?-Sn-1?=1
a1=Sn=1
Sn?=n
an=Sn-Sn-1=√n-√(n-1)
Construir una secuencia aritmética
La secuencia a(1)=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n entonces el general de { an} ¿Cuál es el término fórmula?
Solución: a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
Multiplica ambos lados por 3^n para obtener:
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
Esto muestra que la secuencia {3^n a(n)} es una secuencia aritmética secuencia, y la tolerancia es 1,
El primer término es 3a1=3,
Entonces 3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^ n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.
Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia {a(n)} Sn=2a(n)-2^n Encuentre la fórmula general de la secuencia a(n).
Solución: Cuando n=1, a1=S1=2a1-2, la solución es: a1=2;
Cuando n>1, Sn=2an-2^ n= 2an-2*2^(n-1), S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
Entonces an=Sn-S(n -1 )=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
Organiza para obtener: an-2a(n-1)=2^(n-1).
Divide ambos lados por 2^n al mismo tiempo, obtén: an /2^ n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
Debido a que a1/2^1=1, la secuencia {an/2^n} comienza con 1 , 1/2 es una secuencia aritmética de tolerancia.
Entonces an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=( n +1)/2,
Entonces an=(n+1)*2^(n-1).
Porque a1=2=(1+1)*2 ^ (1-1), consistente con la fórmula anterior.
Por lo tanto, la fórmula general de la secuencia {an} es an=(n+1)*2^(n-1).
La secuencia {an} satisface a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1 para encontrar la fórmula general
Solución: a(n+1)=3an +3^(n+1), divide ambos lados por 3^(n+1) para obtener:
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^( n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
Supongamos que an/ 3^n =bn, entonces b(n +1)=bn+1,
Esto muestra que la secuencia {bn} es una secuencia aritmética con una tolerancia de 1, y el primer término es b1=a1/3 =1.
bn= b1+(n-1)?1=1+(n-1)?1=n.
Es decir, an/ 3^n=n ,
∴an=n?3 ^n.
Construir secuencia geométrica usando el método de coeficiente indeterminado
Secuencia {An}a1=1, 3an-a( n-1)=n Encuentra la fórmula general de An
Solución: 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1) )+n]……①
Supongamos que an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y]……②, donde x e y son constantes por determinar.
①② Comparando las dos ecuaciones, podemos ver: x=-1/2, y=1/4,
Entonces an-1/2n+1/4=1/ 3[a( n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
Esto muestra que la secuencia { an-1/2n+1/4} es una secuencia geométrica , y la razón común es 1/ 3. El primer término es a1-1/2+1/4=3/4.
Según la fórmula del término general de la sucesión geométrica:
an-1/2n+1 /4=3/4?(1/3)^(n-1),
an=3/4?(1/3)^ (n-1)+1/2n-1/ 4.
Se sabe que el primer término de la secuencia {an} es a1=3/5, a(n+1)=3an/ 2an +1,n=1,2,3... Encuentra la fórmula general de {an }
Solución: a(n+1)=3an/(2an +1),
Toma el recíproco para obtener:
1/ a (n+1)= (2an +1) /(3an),
es decir, 1/ a(n+1). )=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
Entonces el La secuencia {1/an-1} es una secuencia geométrica con una razón común de 1/3. El primer término es 1/a1-1=2/3.
Entonces 1/an-1=2 /3?(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/ 3^n)
an=3^n/(3^n+ 2).
Método de raíz característica
A(n+2)=pA( n+1)+qAn, p y q son constantes
(1 ) Generalmente se asume: A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn] ,
entonces m+k=p, mk=-q
(2) Método de raíz característica:
La ecuación característica es y?=py+q (※)
Nota: ① m n tiene dos raíces (※).
② m n puede intercambiar posiciones, pero el resultado puede aparecer en dos formas de secuencia completamente diferentes, pero An también se puede calcular y habrá sorpresas inesperadas, jeje
③ Después de m n posiciones de intercambio, se pueden construir dos conjuntos de fórmulas recursivas para An y A (n + 1) respectivamente. En este momento, encontrará que este es un sistema de ecuaciones lineales de dos variables sobre An y A (n + 1), entonces, de lo contrario, podemos eliminar A (n + 1) y dejar An. OK, se encuentra An.
Ejemplo: A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A(n+1)-6An,
La ecuación característica es: y?= 5y- 6
Entonces, m=3, n=2, o m=2, n=3
Entonces, A(n+2)-3A(n+1)=2 [ A(n+1)-3An] (1)
A(n+2)-2A(n+1)=3[A(n+1)-2An] (2)
Entonces, A(n+1)-3A(n) = - 2 ^ n (3)
A(n+1)-2A(n) = - 3 ^ (n - 1) (4)
La eliminación elimina A (n+1), que es An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.