¿Qué es una función inversa y cómo se define?

[Editar este párrafo] Definición de función inversa En términos generales, sea C el rango de valores de la función y=f(x)(x∈A). De acuerdo con la relación entre xey en esta función, use y para Expresado por x, obtenemos x= f(y). Si para cualquier valor de y en C, hasta x= f(y), x tiene un valor único correspondiente en A, entonces, x= f(). y) significa que y es la variable independiente y x es la función de la variable dependiente y. Tal función x= f(y)(y∈C) se llama función inversa de la función y=f(x)(x). ∈A), que se escribe como y=f^-1(x) El dominio y el dominio de la función inversa y=f^-1(x) son respectivamente el dominio y el dominio de la función y=f(x). [Editar este párrafo] Propiedades de la función inversa (1) Las gráficas de dos funciones que son funciones inversas entre sí son simétricas respecto de la recta y = x (2) Condición necesaria para la existencia de una función inversa de una función; es que el dominio de definición y el dominio de valor de la función son mapeos uno a uno (3) A La función y su función inversa son monótonas en el intervalo correspondiente (4) La mayoría de las funciones pares no tienen una función inversa (la; Sólo la función par con una función inversa es f(x)=a,x∈{0}). Las funciones impares no necesariamente tienen funciones inversas. Cuando es interceptada por una línea recta perpendicular al eje y, puede pasar por 2 o más puntos, es decir, no existe una función inversa. Si una función impar tiene una función inversa, entonces su función inversa también es una función impar. (5) Todas las funciones implícitas tienen funciones inversas; (6) La monotonicidad de una función continua es consistente dentro del intervalo correspondiente; (7) Una función estrictamente creciente (decreciente) debe tener una función inversa estrictamente creciente (decreciente). (8) Las funciones inversas son mutuas (9) El dominio de definición y el rango de valores son opuestos y las reglas correspondientes son mutuamente inversas (tres inversas) (10) Una vez determinada la función original, se determina la función inversa (tres definidas) Ejemplo: la inversa de y=2x-1 La función es y=0.5x+0.5 La función inversa de y=2^x es y=log2 x Ejemplo: Encuentre la solución de la función inversa de la función 3x-2: El dominio de definición de y= 3x-2 es R y el rango de valores es R. Por La solución de y=3x-2 es x=1/3(y+2). Si xey se intercambian, la función inversa de y=3x-2. es y=1/3(x+2) (x pertenece a R ) (11) Relación derivada de la función inversa: Si S={X | [Editar este párrafo] Descripción de la función inversa ⑴ En la función x=f'(y), y es la variable independiente y x es la función Sin embargo, como costumbre, generalmente usamos x para representar la variable independiente e y para representar. Por esta razón, a menudo intercambiamos las letras xey en la función x=f'(y) y las reescribimos en y=f'(x). De ahora en adelante, a menos que se especifique lo contrario, la función inversa de la. La función y=f(x) se reescribirá de esta forma. ⑵La función inversa también es una función porque se ajusta a la definición de función. De la definición de función inversa, podemos ver que para cualquier función y = f (x), no necesariamente existe una función inversa. y=f(x) tiene una función inversa y=f'(x), entonces la función inversa de la función y=f'(x) es y=f(x), es decir, las funciones y=f. (x) e y=f'(x) son funciones inversas entre sí.

⑶ A partir de la definición de mapeo, podemos saber que la función y=f'(x) es un mapeo del dominio A al dominio de valores C, y su función inversa y=f'(x) es un mapeo del conjunto C al conjunto A. Por lo tanto, función y El dominio de =f(x) es exactamente el rango de su función inversa y=f'(x) el dominio de la función y=f(x) es exactamente la definición de su función inversa y=f'; (x) Dominio (tabla siguiente): Función: y=f(x) Función inversa: y=f'(x) Dominio: A C Rango de valores: C A ⑷La definición anterior se puede describir de la siguiente manera utilizando el concepto de mapeo "inverso": Si se determina la función y = El mapeo f de f (x) es un "mapeo uno a uno" desde el dominio de definición de la función al dominio de valor "arriba", entonces la función x = f '(x) determinado por el mapeo "inverso" f^-1 de f se llama La función inversa de la función y=f(x) El dominio y el rango de valores de la función inversa x=f'(x) son respectivamente el dominio de valor y el dominio de. función y=f(x). Los dos primeros ejemplos: s= vt se registra como f(t)=vt, luego su función inversa se puede escribir como f'(t)=t/v, de manera similar y=2x+6. se registra como f (x) = 2x + 6, entonces su función inversa La función es: f'(x) = x/2-3 A veces es necesario clasificar y discutir la función inversa, como por ejemplo: f (x) = X + 1 / X, X necesita ser clasificado y discutido: cuando X es mayor que 0 En algunos casos, cuando X es menor que 0, debes prestarle atención. Generalmente, la expresión de la función inversa de una función fraccionaria es y=ax+b/cx+d (a/c no es igual a b/d)--y=b-dx/cx+a [Editar este párrafo] Aplicar el origen directo de la función inversa Cuando el dominio de valor de una función es difícil, puede determinar el dominio de valor de la función original encontrando el dominio de su función inversa. Los pasos para encontrar la función inversa son los siguientes: 1. Primero encuentre el dominio de la función inversa, porque el dominio de valor de la función original es el dominio de la función inversa (sabemos que los tres elementos de una función son el dominio, el rango de valores y la regla correspondiente, por lo que encontrar; el dominio de la función inversa primero es el primer paso para encontrar la función inversa) 2. Resuelva x inversamente, es decir, use y para representar x 3. Reescriba e intercambie posiciones, es decir, cambie x por y e y por x; 4. Escribe la función original y su rango de valores. Ejemplo: y=2x+1 (rango de valores: cualquier número real) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2 (x toma cualquier número real) En particular, una línea recta con forma de kx+ ky=b Ecuación y cualquier función proporcional inversa, su función inversa es ella misma.