¿Qué significa cada palabra en la marca?
∴ab=bc∠BAC =∠BCA = 60. (1)
∫ El cuadrilátero ACDE es un trapecio isósceles, ∠ EAC = 60,
∴AE=CD, ∠ACD=∠CAE=60,
∴∠BAC+∠CAE=120 =∠BCA+∠ACD,
Es decir, ∠ BAE = ∠ BCD. (2 puntos)
En △ABE y △BCD, AB=BC, ∠BAE=∠BCD, AE=CD,
∴△ABE≔△CBD. (3 puntos)
(2) Existe. La respuesta no es única. Por ejemplo, △ ABN ∽△ CDN.
Prueba: ∫∠Ban = 60 =∠DCN, ∠ANB=∠DNC,
∴△ ANB ∽△ CND. (5 puntos)
La relación de similitud es: abdc = 21 = 2; (6 puntos)
(3) ANCN= ABCD=2 de (2),
∴CN= 12AN= 13AC, (8 puntos)
De manera similar, AM= 13AC,
∴ am = Mn = NC. (9 puntos)
(4) Sea la línea de extensión de DF⊥BC a BC en f,
∫∠BCD = 120,
∴∠ FCD = 60. (1o)
En Rt△CDF, ∴∠ CDF = 30,
∴CF= 12CD= 12,
∴df= Cd2-cf2 = 12 -(12)2 = 32; (11)
En Rt△BDF, ∫BF = BC+CF = 2+12 = 52, DF= 32
∴ BD = BF2 +DF2 = (52) 2+(32) 2 = 7. (12 puntos)