¿Cuáles son las 6 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras (Detalles)

Prueba 1 (prueba de libro de texto)

Haz 8 triángulos rectángulos congruentes. Sean a y b las longitudes de sus dos lados rectángulos, y la longitud de la hipotenusa sea c. , y luego haz tres cuadrados con longitudes de lado a, b y c, y colócalos en dos cuadrados como se muestra en la imagen de arriba.

Como puedes ver en la imagen, las longitudes de los lados de estos. dos cuadrados Son a y b, por lo que las áreas son iguales, es decir,

, ordenadas.

Método de prueba 2 (probado por Zou Yuanzhi)

Supongamos que a y b son los lados de un ángulo recto. Haz cuatro triángulos rectángulos congruentes con c como hipotenusa, entonces el área de cada triángulo rectángulo es igual a. Coloca estos cuatro triángulos rectángulos en la forma que se muestra en la figura. figura, de modo que los tres puntos A, E y B están en línea recta. Los tres puntos B, F y C están en línea recta, y los tres puntos C, G y D están en línea recta.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF

∵ ∠AEH ∠AHE = 90?,

∴. ∠AEH ∠BEF = 90?.

∴ ∠HEF = 180?―90?= 90 ?.

∴ El cuadrilátero EFGH es un cuadrado con longitud de lado c

. Su área es igual a c2

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD ∠GHD = 90. ?,

∴ ∠EHA ∠GHD = 90?.

También ∵ ∠GHE = 90?,

∴ ∠DHA = 90?= 180? ?.

∴ ABCD es un cuadrado con lados a b, y su área es igual a.

∴ .

Método de prueba 3 (prueba de Zhao Shuang. )

Sean a y b los lados rectángulos (bgt; a), sea c el oblicuo

Construye cuatro triángulos rectángulos congruentes con lados, luego el área de cada triángulo rectángulo

es igual a. Pon estos cuatro triángulos rectángulos

como se muestra en la figura

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD ∠HAD = 90?,

∴ ∠EAB ∠HAD = 90?,

∴ ABCD es un cuadrado con longitud de lado c y su área es igual a c2.

∵ EF = FG =GH = HE = b―a,

∠HEF = 90?.

∴ EFGH es un cuadrado con longitud de lado b―a, y su área es igual a.

∴ .

∴ .

Prueba 4 (probada por el presidente estadounidense Garfield en 1876)

Sean a y b los lados rectángulos, y c la hipotenusa Construya dos triángulos rectángulos congruentes, luego el área de cada triángulo rectángulo es igual a. Coloque estos dos triángulos rectángulos en la forma que se muestra en la figura, de modo que los tres puntos A, E y B estén en línea recta

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED ∠ADE = 90?,

∴ ∠AED ∠BEC = 90?. ∴ ∠DEC = 180?―90?= 90?.

∴ ΔDEC es un triángulo rectángulo isósceles,

su área es igual a .

Además ∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,

∴ AD‖BC.

∴ ABCD es un trapecio rectángulo y su área es igual a .

∴ .

∴ .

Prueba 5 (Prueba de Mei Wending)

Construye cuatro triángulos rectángulos congruentes. Sean las longitudes de sus dos lados rectángulos sean a y b respectivamente, y la longitud de la hipotenusa sea c. Júntelos en un polígono como se muestra en la figura, de modo que D, E y F estén en una línea recta. Pase por C y dibuje. la línea de extensión de AC que se cortará DF está en el punto P.

∵ D, E y F están en línea recta, y RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF =. ∠BED,

∵ ∠EGF ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180?―90 ?= 90?.

Además ∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG es un cuadrado con longitud de lado c.

∴ ∠. ABC ∠CBE = 90?.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD ∠CBE = 90?. /p>

Es decir, ∠CBD= 90?.

Y ∵ ∠BDE = 90?, ∠BCP = 90?,

BC = BD = a.

∴ BDPC es una longitud de lado que es un cuadrado de a.

Del mismo modo, HPFG es un cuadrado con longitud de lado b.

Supongamos que el área del polígono GHCBE es S, entonces

,

∴ .

Prueba 6 (Prueba de Xiang Mingda)

Construye dos triángulos rectángulos congruentes. Sean las longitudes de sus dos lados rectángulos a respectivamente, b (bgt; a), la longitud de la hipotenusa es c. Haz otro cuadrado con longitud de lado c. los tres puntos E, A y C están en línea recta.

Por el punto Q, traza QP‖BC y corta a AC en el punto P.

Por el punto B , dibuja BM⊥PQ, y el pie vertical es M; pasa por el punto nuevamente

F Como FN⊥PQ, el pie vertical es N.

∵ ∠BCA = 90? , QP‖BC,

∴ ∠MPC = 90?,

∵ BM⊥PQ,

∴ ∠BMP = 90?,

∴ BCPM es un rectángulo, es decir, ∠MBC = 90?.

∵ ∠QBM ∠MBA = ∠QBA = 90?,

∠ABC ∠MBA = ∠MBC = 90?,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

Y ∵ ∠BMP = 90?, ∠BCA = 90?, BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

De manera similar, se puede demostrar que RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

Así, el problema se transforma en la Prueba 4 (Prueba de Mei Wending).

Prueba 7 (Prueba euclidiana)

Haz tres lados con longitudes a, by Los cuadrados de c, colócalos en la forma que se muestra en la imagen, de modo que los tres puntos H, C y B están en una línea recta que conecta BF y CD. Dibuja CL⊥DE a través de C,

Intersección de AB en el punto M y intersección DE en el punto L.

∵ AF. = AC, AB = AD,

∠FAB = ∠GAD ,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ El área de ΔFAB es igual a,

El área de ΔGAD es igual a la mitad del área del rectángulo ADLM

,

∴ El área del rectángulo ADLM = .

De manera similar, se puede demostrar que el área del rectángulo MLEB = .

∵ El área del cuadrado ADEB

= El área del rectángulo ADLM El área del rectángulo MLEB

∴, es decir.

Método de prueba 8 (Utilice las propiedades de triángulos semejantes para probar)

Como se muestra en la figura, en RtΔABC, sean las longitudes de los lados rectángulos AC y BC a y b respectivamente, y la longitud de la hipotenusa AB es c. Dibuja CD⊥AB a través del punto C, y el pie vertical es D.

p>

En ΔADC y ΔACB,

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?,

∠CAD = ∠BAC,

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD:AC = AC:AB,

Es decir.

Del mismo modo, se puede demostrar que ΔCDB ∽ ΔACB, por lo que tenemos.

∴, es decir.

Prueba 9 (Prueba de Yang Zuomei)

Construye dos triángulos rectángulos congruentes, suponiendo que las longitudes de sus dos lados rectángulos son a y b respectivamente (bgt; a), la longitud de la hipotenusa es. c. Haz otro cuadrado con una longitud de lado c. Júntalos en un polígono como se muestra en la figura. Dibuja AF⊥AC a través de A, AF cruza a GT en F y AF cruza a DT en R. Dibuja BP⊥AF a través de B, y el pie vertical es P. Dibuje DE y la línea de extensión de CB perpendicularmente a través de D, y el pie vertical es E. DE intersecta a AF en H.

∵ ∠BAD = 90?, ∠PAC = 90? ,

∴ ∠DAH = ∠BAC.

Y ∵ ∠DHA = 90?, ∠BCA = 90?,

AD = AB = c,

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a, AH = AC = b.

Se puede ver en la práctica que PBCA es un rectángulo ,

Entonces RtΔAPB ≌ RtΔBCA Es decir, PB =

CA = b, AP= a, entonces PH = b―a. RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a, ∠GDT = ∠HDA

También ∵ ∠DGT = 90?, ∠DHF = 90?,

∠GDH = ∠GDT ∠TDH = ∠HDA ∠TDH = 90?,

∴ DGFH es un arista Un cuadrado con longitud a.

∴ GF = FH = a TF⊥AF, TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB es un trapecio rectángulo. con bases superior e inferior TF=b-a, base inferior BP= b, altura FP=a (b-a).

Utilice números para indicar el número del área (como se muestra en la figura), luego c. es el área del cuadrado con longitud de lado es

①

∵ = ,

∴ = ②

Poner ②. en ①, obtenemos

= = .

∴ .

Prueba 10 (Prueba de Li Rui)

Supongamos que las longitudes de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b (bgt; a), la longitud de la hipotenusa es c. Haz tres cuadrados con longitudes de lados a, b y c, y colócalos en la forma que se muestra en. la figura, de modo que los tres puntos A, E y G estén en línea recta. Usa números El número que indica el área (como se muestra en la figura).

∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90. ?,

∴ ∠TBH = ∠ABE.

Y ∵ ∠ BTH = ∠BEA = 90?,

BT = BE = b,

∴ RtΔHBT ≌

RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

¿Y ∵ ∠GHF ∠BHT = 90? ,

∠DBC ∠BHT = ∠TBH ∠BHT = 90?,

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b ―a,

∠HGF = ∠BDC = 90?,

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC Es decir

Usando Q para construir QM⊥AG, el. el pie vertical es M. De ∠BAQ = ∠BEA = 90?, se puede ver que ∠ABE

= ∠QAM, y AB = AQ = c, entonces RtΔABE ≌ RtΔQAM y RtΔHBT ≌

RtΔABE. Entonces RtΔHBT ≌ RtΔQAM Es decir

De RtΔABE ≌ RtΔQAM, QM = AE = a, ∠AQM = ∠BAE. FQM = 90?, ∠ BAE ∠CAR = 90?, ∠AQM = ∠BAE,

∴ ∠FQM = ∠CAR.

Y ∵ ∠QMF = ∠ARC = 90? , QM = AR = a ,

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC Es decir.

∵ , , ,

También ∵ , , ,

=

= ,

Es decir.

Prueba 11 (Utilice el teorema de la línea de corte para demostrar)

En RtΔABC, suponga que los lados rectángulos BC = a, AC = b y la hipotenusa AB = c, como se muestra en la figura, con B como centro y a como radio, dibuje un círculo. y cruza AB y las líneas de extensión de AB en D y E respectivamente, entonces BD = BE = BC = a Debido a que ∠BCA = 90?, el punto C está en ⊙B, entonces AC es la recta tangente de ⊙B. el teorema de la recta tangente, obtenemos

=

=

= ,

Es decir,

∴ .

Prueba 12 (Usando el teorema del polilema para demostrar)

En RtΔABC, sean los lados rectángulos BC = a, AC = b y la hipotenusa AB = c (como como se muestra en la figura). Deje que AD‖CB pase por el punto A y BD‖CA pase por el punto B. Entonces ACBD es un rectángulo y el rectángulo ACBD está inscrito en un círculo. Según el teorema de varias columnas, el producto de las diagonales. de un círculo inscrito en un cuadrilátero es igual a la suma de los productos de los dos lados opuestos, hay

∵ AB = DC = c, AD = BC = a,

AC = BD = b,

∴, es decir,

∴.

Prueba 13 (Prueba del círculo inscrito de un triángulo rectángulo)

En RtΔABC, sean los lados rectángulos BC = a, AC = b y la hipotenusa AB = c. Dibuja el círculo inscrito ⊙O de RtΔABC, y los puntos tangentes son D, E y F respectivamente (. como se muestra en la figura), Sea el radio de ⊙O r.

∵ AE = AF, BF = BD, CD = CE,

∴

= = r r = 2r,

Es decir,

∴ .

∴ ,

Es decir,

∵ ,

∴ ,

y ∵ = =

= = ,

∴ ,

∴ ,

∴ , ∴ .

Prueba 14 (Prueba por contradicción)

Como se muestra en la figura, en RtΔABC, sea el lado rectángulo

Las longitudes de AC y BC son a y b respectivamente, la longitud de la hipotenusa AB es c, la que pasa por el punto C es CD⊥AB y el pie vertical es D.

Suposición, es decir, hipótesis, entonces:

= =

Se puede ver que, o es decir, AD: AC≠AC:AB, o BD: BC≠BC:AB.

En ΔADC y ΔACB,

∵ ∠A = ∠A,

∴ Si AD：AC≠AC：AB, entonces

∠ADC≠ ∠ACB.

En En ΔCDB y ΔACB,

∵ ∠B = ∠B,

∴ Si BD: BC≠BC: AB, entonces

∠CDB≠∠ACB

También ∵ ∠ACB = 90?,

∴ ∠ADC≠90?, ∠CDB≠90?.

Esto es contradictorio con la práctica CD⊥AB Por lo tanto, no se puede establecer el supuesto de.

∴ .

Prueba 15 (prueba de Simpson)

Supongamos que las longitudes de los dos lados rectángulos del triángulo rectángulo son a respectivamente, b, la longitud de la hipotenusa es c. Construya un cuadrado ABCD con longitud de lado a b. Divida el cuadrado ABCD en varias partes como se muestra en la figura. figura de arriba a la izquierda, entonces el área del cuadrado ABCD es; Divida el cuadrado ABCD en las partes que se muestran en la figura de arriba a la derecha. Se muestran varias partes, entonces el área del cuadrado ABCD es = .

∴,

∴ .

Prueba 16 (Chen Jie demostró)

Supongamos que las longitudes de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b (bgt; a), y la longitud de la hipotenusa es c. Haz dos cuadrados (bgt; a) con longitudes de lado a y b, y colócalos en la forma que se muestra en la imagen, de modo que los tres puntos E , H y M están en línea recta. Usa números para indicar el número del área (como se muestra en la imagen).

Intercepta ED = a en EH = b y conecta DA, DC,.

Entonces AD = c.

∵ EM = EH HM = b a, ED = a,

∴ DM = EM―ED = ― a = b.

Y ∵ ∠CMD = 90?, CM = a,

∠AED = 90?, AE = b,

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC, DC = AD = c.

∵ ∠ADE ∠ADC ∠MDC =180?,

∠ADE ∠ MDC = ∠ADE ∠EAD = 90?,

∴ ∠ADC = 90?.

∴ Como AB‖DC, CB‖DA, entonces ABCD es un cuadrado de longitud de lado c.

∵ ∠BAF ∠FAD = ∠DAE ∠FAD = 90?,

∴ ∠BAF=∠DAE.

Conectar FB, en ΔABF y En ΔADE,

∵ AB =AD = c, AE = AF = b, ∠BAF=∠DAE,

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠ AFB = ∠AED = 90 ?, BF = DE = a.

∴ Los puntos B, F, G, H están en línea recta.

En RtΔABF y RtΔBCG,

p >

∵ AB = BC = c, BF = CG = a,

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ , , ,

,< / p>

∴

=

=

=

∴ .