¿Los diez mejores matemáticos?
1. El matemático griego Euclides. Nació alrededor del 330 a.C. y murió alrededor del 260 a.C.
Euclides es uno de los matemáticos más famosos e influyentes de la antigua Grecia. Fue miembro de la escuela alejandrina. Euclides escribió un libro llamado "Original", 13 volúmenes. Esta obra tuvo una gran influencia en el desarrollo futuro de la geometría, las matemáticas y las ciencias, y en toda la forma de pensar de los occidentales. El objeto principal de "Elementos de Geometría" es la geometría, pero también toca otros temas como la teoría de números y la teoría de números irracionales. Euclides utilizó un enfoque axiomático. Los axiomas son ciertas proposiciones básicas que no requieren prueba y de las cuales se derivan todos los teoremas. En este tipo de razonamiento deductivo, toda demostración debe basarse en un axioma o teorema que ya ha sido demostrado. Este enfoque se convirtió en un modelo para construir cualquier conjunto de conocimientos y, durante casi 2.000 años, se consideró un modelo de pensamiento riguroso que debía seguirse. Los "elementos" son el pináculo del desarrollo de las matemáticas griegas antiguas.
Euclidiano (activo alrededor de 300-?)
Matemático griego antiguo. Es famoso por sus "Elementos" (denominados "Elementos"). Poco se sabe ahora sobre su vida. Probablemente estudié en Atenas en mis primeros años y estaba muy familiarizado con las teorías de Platón. Hacia el año 300 a. C. llegó a Alejandría por invitación de Ptolomeo (364-283 a. C.) y trabajó allí durante mucho tiempo. Fue un educador gentil y honesto que siempre fue persuasivo con aquellos interesados en las matemáticas. Sin embargo, nos oponemos al estilo de negarse a estudiar seriamente y al enfoque oportunista, así como a la visión estrecha y práctica. Según Proclo (alrededor de 410 ~ 485), el rey Ptolomeo preguntó una vez a Euclides si había algún atajo para aprender geometría además de sus Elementos. Euclides respondió: "En geometría, no hay camino pavimentado para los reyes". Esta frase se convirtió más tarde en un lema de aprendizaje que se ha transmitido a través de los siglos. Stobeus (alrededor del año 500) contó otra historia sobre un estudiante que recién comenzaba a aprender la primera proposición y le preguntó a Euclides qué obtendría después de aprender geometría. Euclides dijo: Dale tres monedas porque quiere obtener un beneficio real de sus estudios.
Euclides organizó los ricos resultados acumulados en la geometría griega desde el siglo VII a.C. en un estricto sistema lógico, haciendo de la geometría una ciencia independiente y deductiva. Además de "Elementos", también tenía muchas obras, pero la mayoría de ellas se han perdido. Los números conocidos es la única obra griega que se conserva de sus escritos puramente geométricos, además del original. Su formato es similar a los primeros seis volúmenes de la obra original, que contiene 94 proposiciones. Se ha señalado que si se conocen ciertos elementos de un diagrama, se pueden determinar otros elementos. Los gráficos se dividen en textos latinos y árabes existentes. Este artículo analiza el uso de líneas rectas para dividir una figura conocida en partes o partes iguales. "Óptica" es uno de los primeros trabajos sobre óptica geométrica. Estudia la perspectiva, afirma que el ángulo de incidencia de la luz es igual al ángulo de reflexión y considera que la visión es el resultado de la luz que llega a un objeto desde el ojo. También hay obras que no se sabe si pertenecen a Euclides y se han perdido.
Los "Elementos de Geometría" de Euclidiano contienen 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados, de los cuales se derivan 48 proposiciones (Volumen 1).
2. Vida de Liu Hui
(nacido alrededor del año 250 d.C.), nativo de Wei a finales del período de los Tres Reinos, destacado matemático de la antigua China y uno de los fundadores de Teoría matemática clásica china. Los libros de historia rara vez registran sus fechas de nacimiento y muerte y acontecimientos de su vida. Según datos históricos limitados, era de Linzi o Zichuan, Shandong durante las dinastías Wei y Jin. Nunca he sido funcionario.
Obra
Pocos de los trabajos matemáticos de Liu Hui se han transmitido a generaciones posteriores, y todos ellos han sido plagiados una y otra vez. Sus principales obras incluyen:
Nueve capítulos de notas aritméticas (10);
Chongdian (1) pasó a llamarse Dao Suan en la dinastía Tang.
Volumen L de "Nueve capítulos de grandes diferencias", pero lamentablemente los dos últimos volúmenes se perdieron en la dinastía Song.
Logros matemáticos
Los logros matemáticos de Liu Hui se concentran aproximadamente en dos aspectos:
Primero, aclarar el antiguo sistema matemático chino y sentar sus bases teóricas. Este aspecto se refleja en "Nueve capítulos de notas aritméticas".
De hecho, ha formado un sistema teórico relativamente completo:
(1) En la teoría del sistema numérico
explica la división general y la simplificación de fracciones complejas con el mismo signo y diferentes signos. cuatro operaciones aritméticas y reglas de operación de simplificación. En las notas sobre la receta, discutió la existencia de raíces irracionales en el sentido infinito de la receta, introdujo nuevos números y creó un método de aproximación infinita de raíces irracionales con decimales.
(2) En la teoría del cálculo de abultamientos.
En primer lugar, dio una definición clara de tasa y estableció una base teórica unificada para las operaciones numéricas y de fórmulas basada en tres operaciones básicas como la multiplicación y la división. También utilizó la tasa para definir la "ecuación" en las matemáticas chinas antiguas, que es la matriz aumentada de ecuaciones lineales en las matemáticas modernas.
③En la teoría pitagórica.
El teorema de Pitágoras y el principio de cálculo para resolver la forma pitagórica se demostraron uno por uno, se estableció la teoría de formas pitagóricas similares y se desarrolló la métrica pitagórica. Mediante el análisis de caracteres típicos como "horizontal en el gancho" y "recto en el medio de la culata", se formó una teoría similar con características chinas.
④En la teoría del área y el volumen.
El principio de Liu Hui fue propuesto utilizando el principio de complementación, la deficiencia de complemento y el método límite de "corte de círculos" para resolver los problemas de cálculo del área y volumen de varias formas geométricas y cuerpos geométricos. El valor teórico de estos aspectos todavía brilla.
En segundo lugar, presente sus propias ideas sobre la base de la herencia. Este aspecto se refleja principalmente en las siguientes innovaciones representativas:
①Circuncisión y Pi
Escribió en "¿Nueve capítulos de aritmética?" En las notas sobre el campo del círculo, se demuestra la fórmula precisa para el área de un círculo utilizando la técnica de la secante y se proporciona un método científico para calcular pi. Primero cortó el círculo del hexágono inscrito en el círculo. Cada vez que el número de lados se duplicaba, calculó el área de 192 polígonos, π = 157/50 = 3,14, y luego calculó el área de 3072 polígonos. π = 3927/1250 = 3,650.
②El principio de Liu Hui
Capítulo 9 ¿Aritmética? Cuando Yang Mashhu utilizó la división infinita para resolver el volumen de un cono, propuso el principio de Liu Hui para calcular el volumen de un poliedro.
③Teoría de la "Conspiración para la Reforma Vivienda"
Capítulo 9 ¿Aritmética? Señaló la inexactitud de la fórmula V=9D3/16 (D es el diámetro de la bola) e introdujo el famoso modelo geométrico "Mou He Square Cover". "Cubierta cuadrada Mouhe" se refiere a la intersección de dos cilindros inscritos con ejes mutuamente perpendiculares.
④Nueva tecnología para ecuaciones
Capítulo 9 ¿Aritmética? "Ecuación", propuso un nuevo método para comprender las ecuaciones lineales, utilizando la idea del algoritmo de relación.
⑤Operación de diferencia de gravedad
Propuso en el libro blanco "Island Arithmetic Sutra " Inventó la técnica de la diferencia compleja y utilizó métodos como tablas complejas, cables continuos y momentos acumulativos para medir la altura y la distancia. También utilizó el método de "derivación análoga" para desarrollar la tecnología de diferencia de gravedad de dos observaciones a "tres observaciones". y "cuatro observaciones." ". En el siglo VII, India y Europa sólo comenzaron a estudiar la cuestión de dos observaciones en los siglos XV y XVI.
Contribución y estatus
Liu El trabajo de Hui no solo contribuyó a la antigua China. El desarrollo de las matemáticas ha tenido un impacto profundo y ha establecido un estatus histórico elevado en el mundo. En vista de la enorme contribución de Liu Hui, muchos libros lo llaman "Newton en la historia de las matemáticas chinas".
Fermat
Fermat (1601 ~ 1665)
Pierre de Fermat
Fermat, matemático francés, nació en agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne, cerca de Toulouse, en el sur de Francia. Su padre, Dominic Fermat, abrió allí una gran tienda de artículos de cuero. La industria era muy rica, lo que le permitió vivir en un ambiente rico y confortable desde que era niño. El padre de Fermat era respetado por la gente debido a su riqueza y buena gestión, por lo que ganó el título de consultor de asuntos locales. Sin embargo, cuando era joven, Fermat no se sentía muy superior debido a la riqueza de su familia. Rogge, un aristócrata vestido con túnica La gran riqueza de Dominic y la gran nobleza de Rogge constituyeron el estatus social extremadamente rico de Fermat.
Fermat fue educado por su tío Pierre cuando era niño y recibió una buena educación ilustrada, que cultivó. Su amplia gama de intereses y aficiones tuvo un impacto importante en su carácter. No fue hasta los 14 años que Fermat ingresó al Beaumont de Laus College. Después de graduarse, estudió derecho en las universidades de Orleans y Toulouse.
En la Francia del siglo XVII, la profesión más exquisita para los hombres era la de abogado, por lo que se puso de moda y admirable que los hombres estudiaran derecho. Curiosamente, Francia ha creado buenas condiciones para aquellos “cuasi abogados” que son productivos pero carecen de calificaciones para convertirse en abogados lo antes posible. En 1523, Francisco I organizó y estableció una agencia especial para vender públicamente funcionarios y títulos. Una vez que surgió este fenómeno social de vender el puesto oficial y obtener el título, para hacer frente a las necesidades de la época, se salió de control y continúa hasta el día de hoy.
Por un lado, vender puestos oficiales beneficia a los ricos, permitiéndoles obtener puestos oficiales y mejorar su estatus social. Por otro lado, también mejora la situación financiera del gobierno. Por tanto, en el siglo XVII, salvo los funcionarios de la corte y los agregados militares, cualquier cargo oficial podía comprarse y venderse. Hasta el día de hoy, las funciones de los secretarios judiciales, notarios, mensajeros, etc. No se ha deshecho por completo de la naturaleza de compra y venta. La experiencia de Francia en la compra de oficinas ha beneficiado a muchas personas de clase media y Fermat no es una excepción. Antes de graduarse de la universidad, Fermat compró los puestos de "abogado" y "senador" en Beaumont de Lomagne. Después de graduarse, Fermat regresó a su ciudad natal y fácilmente se convirtió en miembro del Parlamento de Toulouse, cumpliendo un mandato hasta 1631.
Aunque Fermat no perdió su puesto oficial desde que ingresó a la sociedad hasta su muerte, y fue ascendido año tras año, según los registros, Fermat no tuvo logros políticos, y su capacidad para desenvolverse en la burocracia Era promedio, y mucho menos su capacidad de liderazgo. Sin embargo, Fermat no interrumpió su ascenso. Después de servir como miembro del parlamento local durante siete años, Fermat fue ascendido a senador investigador, con poder para investigar e interrogar al ejecutivo.
En 1642, había una persona autorizada llamada Boris, que era asesor de la Corte Suprema. Boris recomendó a Fermat al Tribunal Penal Supremo y al Tribunal Principal del Palacio Dalí en Francia, lo que le dio a Fermat mejores oportunidades de ascenso en el futuro. En 1646, Fermat fue ascendido a presidente principal del Parlamento y más tarde sirvió como presidente de la Liga Católica. La carrera oficial de Fermat no tuvo logros sobresalientes dignos de elogio, pero Fermat nunca usó su poder para extorsionar a otros, nunca aceptó sobornos y fue honesto y recto, lo que se ganó la confianza y los elogios de la gente.
El matrimonio de Fermat lo elevó al rango de noblesse de robe. Fermat se casó con su prima Louise de Rogge. Fermat estaba tan orgulloso de la ascendencia aristocrática de su madre que ahora simplemente añadió el símbolo "de" delante de su nombre.
Fermat tuvo tres hijas y dos hombres. Excepto Clara, la hija mayor, los cuatro hijos hacían que Fermat se sintiera respetable. Dos de las hijas se convirtieron en sacerdotes y la segunda en archidiácono de Fermares. Especialmente el hijo mayor, Clement Samore, que no sólo heredó el cargo público de Fermat y se convirtió en abogado en 1665, sino que también compiló las obras matemáticas de Fermat. Si el hijo mayor de Fermat no hubiera publicado activamente los trabajos matemáticos de Fermat, sería difícil decir que Fermat podría tener un impacto tan grande en las matemáticas, porque la mayoría de los artículos se publicaron después de la muerte del hijo mayor de Fermat. En este sentido, a Samuel también se le puede considerar el heredero de la carrera de Fermat.
Para Fermat, la verdadera vocación era la académica, especialmente las matemáticas. Fermat conocía el francés, el italiano, el español, el latín y el griego y estudió muchos de ellos. La erudición del lenguaje proporcionó a Fermat herramientas lingüísticas y comodidad para su investigación matemática, permitiéndole aprender y comprender el álgebra y las matemáticas griegas antiguas en árabe e italiano. Quizás fueron estos los que sentaron una buena base para los logros matemáticos de Fermat. En matemáticas, Fermat no sólo podía vagar libremente en el reino de las matemáticas, sino también permanecer fuera del mundo de las matemáticas y tener una visión general de las matemáticas. Esto no se puede atribuir en absoluto a su talento matemático, sino también a su erudición.
Fermat era introvertido, modesto y tranquilo, y no era bueno para promocionarse ni lucirse. Por lo tanto, rara vez publicó sus propias obras durante su vida y ni siquiera publicó un libro completo. Algunos de sus artículos son siempre anónimos. Después de la muerte de Fermat, su hijo mayor recopiló sus notas, anotaciones y cartas en un libro y publicó Tratado de Matemáticas. Hace tiempo que reconocemos la importancia de la temporalidad para la ciencia, e incluso en el siglo XVII la cuestión era prominente. Los resultados de la investigación matemática de Fermat no se publicaron a tiempo y no pudieron difundirse ni desarrollarse. No fue del todo una pérdida de reputación personal, pero afectó el ritmo del progreso matemático en esa época.
Fermat gozó de buena salud durante toda su vida, pero casi muere a causa de la peste en 1652. Después del día de Año Nuevo de 1665, Fermat comenzó a sentir cambios físicos, por lo que dejó de jugar el 10 de octubre de 65438. Al tercer día, Fermat murió. Fermat fue enterrado en el cementerio de Castres y posteriormente en el cementerio familiar de Toulouse.
Fermat no recibió ninguna educación matemática especializada en su vida, y la investigación matemática era sólo un hobby. Sin embargo, en la Francia del siglo XVII ningún matemático pudo igualarlo: fue uno de los inventores de la geometría analítica, su contribución al nacimiento del cálculo fue superada sólo por Newton, Leibniz, el principal fundador de la teoría de la probabilidad, el hombre que la heredó; El mundo de la teoría de números en el siglo XVII. Además, Fermat también hizo importantes contribuciones a la física. Fermat fue el mayor matemático francés del siglo XVII.
A principios del siglo XVII, presagiaba un futuro bastante espectacular para las matemáticas. De hecho, este siglo es también una era gloriosa en la historia de las matemáticas. La geometría se convirtió por primera vez en la perla más atractiva de esta época, y la aplicación de métodos algebraicos, un nuevo método geométrico, condujo directamente al nacimiento de la geometría analítica. Como método completamente nuevo, la geometría proyectiva ha abierto un nuevo campo. La división infinitesimal causada por el antiguo problema de la cuadratura se introdujo en la geometría, lo que condujo a una nueva dirección de investigación en geometría y, en última instancia, promovió la invención del cálculo. El renacimiento de la geometría es inseparable de una generación de matemáticos diligentes en el pensamiento y valientes en la creación, y Fermat es uno de ellos.
Contribución a la geometría analítica
Fermat descubrió los principios básicos de la geometría analítica independientemente de Descartes.
Antes de 1629, Fermat comenzó a reescribir el libro "Plane Locus", que había sido perdido por el antiguo geómetra griego Apolonio en el siglo III a.C. Usó métodos algebraicos para complementar algunas pruebas perdidas de la trayectoria de Apolonio, resumió y organizó la geometría griega antigua, especialmente la teoría de la sección cónica de Apolonio, y realizó un estudio general de las curvas. En 1630, escribió un artículo de 8 páginas "Introducción a las trayectorias planas y sólidas" en latín.
Fermat comenzó a mantener correspondencia con los grandes matemáticos Mersenne y Robert Wahl en 1636, y habló un poco sobre su trabajo matemático. Sin embargo, "Introducción a las trayectorias planas y sólidas" se publicó después de la muerte de Fermat hace 14 años, por lo que antes de 1679 pocas personas conocían el trabajo de Fermat, pero ahora parece que el trabajo de Fermat fue innovador.
El descubrimiento de Fermat fue revelado en "Introducción a las trayectorias planas y sólidas". Señaló: "Una ecuación determinada por dos incógnitas corresponde a una trayectoria y puede describir una línea recta o una curva". El descubrimiento de Fermat precedió al descubrimiento de Descartes de los principios básicos de la geometría analítica siete años antes. Fermat también analizó las ecuaciones de líneas rectas y círculos generales, hipérbolas, elipses y parábolas.
Descartes buscó sus ecuaciones a partir de trayectorias, mientras que Fermat buscó trayectorias a partir de ecuaciones. Estos son dos aspectos opuestos de los principios básicos de la geometría analítica.
En una carta de 1643, Fermat también habló de sus ideas en geometría analítica. Habló de cilindros, paraboloides elípticos, hiperboloides y elipsoides, señaló que una ecuación que contiene tres incógnitas representa una superficie curva y la estudió más a fondo.
Contribución al Cálculo
En los siglos XVI y XVII, el cálculo fue la perla más brillante después de la geometría analítica. Como todos sabemos, Newton y Leibniz fueron los fundadores del cálculo. Antes de ellos, al menos decenas de científicos realizaron trabajos básicos para la invención del cálculo. Pero entre los muchos pioneros, aún vale la pena mencionar a Fermat, principalmente porque proporcionó la forma moderna más cercana de inspiración para la derivación de conceptos de cálculo, de modo que en el campo del cálculo, siguiendo a Newton y Leibniz, Fermat como fundador, Ma también ser reconocido por la comunidad matemática.
Las tangentes de curvas y los mínimos de funciones son uno de los orígenes del cálculo. Esta pieza es relativamente antigua y se remonta a la antigua Grecia. Arquímedes utilizó el método exhaustivo para encontrar el área de cualquier figura encerrada por una curva. Debido a que el método de agotamiento era engorroso y torpe, fue gradualmente olvidado y no se tomó en serio hasta el siglo XVI. Cuando Kepler estaba explorando las leyes del movimiento planetario, se encontró con el problema de cómo determinar el área y la longitud del arco de una elipse. Se introducen los conceptos de infinitesimal e infinitesimal, reemplazando el engorroso método exhaustivo. Aunque este método no es perfecto, ha abierto un espacio de pensamiento muy amplio para los matemáticos desde que Cavalieri llegó a Fermat.
Fermat creó el método de la tangente, el método del máximo, el método del mínimo y el método de la integral definida, y realizó una enorme contribución al cálculo.
Contribución a la teoría de la probabilidad
Ya en el período griego antiguo, la relación entre contingencia y necesidad ha despertado el interés y el debate de muchos filósofos, pero se utilizan métodos matemáticos para describir y lidiar con eso. Pero fue después del siglo XV. A principios del siglo XVI, matemáticos italianos como Cardano estudiaron el juego de azar en dados y exploraron la división de las apuestas en puntos del juego.
En el siglo XVII, los franceses Pascal y Fermat estudiaron las abstracciones del italiano Pacuri y establecieron las relaciones correspondientes, sentando así las bases de la teoría de la probabilidad.
Fermat consideró cuatro apuestas con 2× 2× 2× 2 = 16 resultados posibles, excepto un resultado, que es que el oponente gana las cuatro apuestas y el primer jugador gana todas las demás situaciones. Fermat aún no utilizaba la palabra probabilidad, pero había llegado a la conclusión de que la probabilidad de que ganara el primer jugador era 15/16, la relación entre el número de situaciones favorables y el número de todas las situaciones posibles. Esta condición generalmente se cumple en problemas combinatorios, como juegos de cartas, voltear plata y modelar bolas de frascos. En realidad, esta investigación sentó las bases del juego para la abstracción del espacio de probabilidad, un modelo matemático de probabilidad, aunque Kolmogorov no hizo este resumen hasta 1933.
En sus intercambios y trabajos mutuos, Fermat y Pascal establecieron el principio básico de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. Esto comienza con el problema matemático de los puntos: en un juego interrumpido, cómo determinar la división de las apuestas entre jugadores que se supone que tienen la misma habilidad, y cómo saber las puntuaciones de dos jugadores en el momento de la interrupción y lo que se necesita. para ganar la puntuación del juego. Fermat analizó la situación en la que el jugador A necesita 4 puntos para ganar y el jugador B necesita 3 puntos para ganar. Esta fue la solución de Fermat para esta situación particular. Porque obviamente puedes decidir hasta cuatro veces.
El concepto de espacio de probabilidad generalizado es una axiomatización exhaustiva de las ideas intuitivas de las personas sobre los conceptos. Desde una perspectiva puramente matemática, los espacios de probabilidad finitos parecen mundanos. Pero una vez que se introducen variables aleatorias y expectativas matemáticas, se convierte en un mundo mágico. Ésta es la contribución de Fermat.
Contribución a la teoría de números
A principios del siglo XVII circuló en Europa el libro "Aritmética" escrito por Diofanto, un antiguo matemático griego del siglo III d.C. Ma Fei compró este libro en París y estudió las ecuaciones indefinidas del libro en su tiempo libre. Fermat limitó el estudio de ecuaciones indefinidas al rango de números enteros, creando así una rama de las matemáticas en la teoría de números.
Los logros de Fermat en el campo de la teoría de números son enormes, e incluyen:
(1) Todos los números primos se pueden dividir en 4n+1 y 4n+3.
(2) Un número primo en la forma 4n+1 puede y sólo puede expresarse en una dirección como la suma de dos cuadrados.
(3) Ningún número primo de la forma 4n+3 puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
(4) Un número primo en la forma 4n+1 puede y solo puede usarse como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un ángulo recto entero y el cuadrado de 4n+1 puede y solo puede ser; la hipotenusa de dos de esos triángulos rectángulos; de manera similar, 4n+1 elevado a la potencia m es y sólo puede ser la hipotenusa de m de tales triángulos rectángulos.
(5) El área de un triángulo rectángulo con lados racionales no puede ser un número cuadrado.
(6) El número primo de 4n+1 y su cuadrado solo se pueden expresar de una manera como la suma de dos cuadrados; su tercera potencia y su cuarta potencia solo se pueden expresar de dos maneras como la suma; de dos cuadrados y; tanto la quinta potencia como la sexta potencia sólo se pueden expresar de tres maneras como la suma de dos cuadrados, y así sucesivamente, hasta el infinito.
Aportación a la óptica
La aportación destacada de Fermat a la óptica es la propuesta del principio de mínima acción, también llamado principio de mínima acción en el tiempo. Este principio tiene una larga historia. Ya en la antigua Grecia, Euclides propuso la ley de propagación lineal de la luz y la ley de reflexión de fases. Más tarde, Helen reveló la esencia teórica de estas dos leyes: la luz toma el camino más corto. Varios años más tarde, esta ley se fue ampliando gradualmente hasta convertirse en una ley natural y luego se convirtió en un concepto filosófico. Esto finalmente llevó a la conclusión más general de que "la naturaleza actúa del modo más corto posible" e influyó en Fermat. La brillantez de Fermat residió en convertir este concepto filosófico en una teoría científica.
Fermat también analizó el caso en el que la trayectoria de la luz toma una curva mínima al propagarse en un medio que cambia punto a punto. Algunos problemas se explican por el principio de mínima acción. Esto ha dado un gran estímulo a muchos matemáticos. Euler, en particular, utilizó este principio para encontrar el valor extremo de una función mediante el método variacional. Esto conduce directamente a los resultados de Lagrange y da la forma específica del principio de acción mínima: para una partícula, la integral del producto de su masa, velocidad y la distancia entre dos puntos fijos es un valor máximo y un valor mínimo; , debe ser el valor máximo o mínimo de la trayectoria real seguida por la partícula.