Edición de la Universidad Normal de Beijing Matemáticas de secundaria obligatoria 5 planes de lecciones

Capítulo 1 Secuencia

1.1 Concepto de secuencia

Objetivos de la lección 1. Comprender la secuencia y sus conceptos relacionados 2. Comprender la fórmula general de la secuencia; y Ser capaz de utilizar la fórmula del término general para escribir cualquier término de una secuencia. 3. Para una secuencia relativamente simple, ser capaz de escribir su fórmula del término general basada en los primeros n términos.

1. En términos generales, una secuencia de números ordenados en un cierto ________ se llama secuencia, y cada número en la secuencia se llama elemento de la secuencia. La forma general de una secuencia se puede escribir como a1, a2, a3,..., an,... abreviada como secuencia {an}, donde el primer término de la secuencia, a1, también se llama primer término; an es el enésimo término de la secuencia, también llamado término general de la secuencia ．.

2． Una secuencia con un número finito de términos se llama secuencia ________ y ​​una secuencia con un número infinito de términos se llama secuencia ______.

3. Si la relación entre el enésimo término de la secuencia {an} y el número de secuencia n se puede expresar mediante una fórmula, entonces esta fórmula se llama fórmula ________ de la secuencia.

1. Preguntas de opción múltiple

1. Una fórmula general para la secuencia 2, 3, 4, 5,... es ()

A. an=nB. an＝n＋1

C. an＝n＋2 D. an＝2n

2． Se sabe que la fórmula general de la secuencia {an} es an=, entonces los primeros cuatro términos de la secuencia son ()

A. 1,0,1,0B. 0, 1, 0, 1

C., 0,, ​​​​0 D. 2, 0, 2, 0

3. Si los primeros cuatro términos de la secuencia son 1, 0, 1, 0, entonces la fórmula general de esta secuencia no puede ser ()

A. an=[1+(-1)n-1]

B. an＝[1-cos(n·180°)]

C. an＝sin2(n·90°)

D． an＝(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]

4. Se sabe que la fórmula general de la secuencia {an} es an=n2-n-50, entonces -8 es () de la secuencia

A. Artículo 5 B. Artículo 6

C. Tema 7 D. Ninguno de ellos

5. Una fórmula general para la secuencia 1, 3, 6, 10,... es ()

A. an＝n2－n＋1 B． an＝

C. y＝D. an＝n2＋1

6． Supongamos que an＝＋＋＋…＋ (n∈N＋), entonces an＋1－an es igual a ()

B.

C.＋ D.－

2. en los espacios en blanco Pregunta

7. Se sabe que la fórmula general de la secuencia {an} es an= Entonces sus primeros cuatro términos son _____.

8. Se sabe que la fórmula general de la secuencia {an} es an=(n∈N＋), entonces es el término ______ de esta secuencia.

9. Use cerillas para construir triángulos como se muestra en la figura:

Siga las reglas que se muestran en la figura, luego la relación entre la cantidad de cerillas usadas y la cantidad de triángulos n construidos puede ser ______________.

10. Cuenta la leyenda que los matemáticos de la escuela de Pitágoras (alrededor del 570 a. C. - 500 a. C.) en la antigua Grecia estudiaban a menudo problemas matemáticos en la playa, dibujaban puntos en la playa o utilizaban guijarros para representar números. Por ejemplo, lo harán

Si las piedras están dispuestas en forma de triángulo como se muestra en la figura, el número de piedras correspondientes se llama número de triángulo. Entonces el número del décimo triángulo es ______.

3. Responde las preguntas

11. Con base en los primeros términos de la secuencia, escribe una fórmula general para cada una de las siguientes secuencias:

(1)-1, 7,-13, 19,… (2)0,8, 0,88, 0,888 ,…

(3),,-,,-,,…

(4),1,,,… (5)0,1,0,1,…

12． Secuencia conocida;

(1) Encuentra el décimo elemento de esta secuencia;

(2) ¿Es un elemento de esta secuencia y por qué?

(3) Verificar: Cada elemento de la secuencia está dentro del intervalo (0, 1);

(4) ¿Hay innumerables elementos en la secuencia dentro del intervalo? Si es así, ¿cuántos? Si no, explique por qué.

Mejora de habilidades

13. Una fórmula general para la secuencia a, b, a, b,... es ____________________________.

14． De acuerdo con las siguientes cinco figuras y el patrón cambiante del número de puntos correspondientes, intenta adivinar cuántos puntos hay en la enésima figura.

1. En comparación con las propiedades de los elementos del conjunto, los elementos de la secuencia también tienen tres propiedades:

(1) Determinismo: si un número está en la secuencia, es decir, si un número es un elemento en la secuencia es seguro.

(2) Repetibilidad: Los números de la secuencia se pueden repetir.

(3) Orden: Una secuencia no sólo está relacionada con los "números" que la componen, sino también con el orden en el que están ordenados estos números.

2. No todas las fórmulas de secuencia se pueden escribir. Por ejemplo, diferentes aproximaciones de π, dependiendo del grado de precisión, pueden formar una secuencia de 3, 3,1, 3,14, 3,141,..., que no tiene fórmula general.

3． Si una secuencia tiene una fórmula general, su fórmula general puede tener muchas formas. Por ejemplo: la fórmula general de la secuencia -1,1,-1,1,-1,1,... se puede escribir como an=(-1)n, o se puede escribir como an=(-1 )n+2, o puede escribirse como

an＝donde k∈N＋.

1.2 Características funcionales de las secuencias

Objetivos de la lección 1. Comprender el fórmula recursiva de la secuencia y aclarar la relación entre la fórmula recursiva y la fórmula general Similitudes y diferencias 2. Ser capaz de escribir los primeros términos de una secuencia basándose en la fórmula recursiva de una secuencia; secuencia y una función, y ser capaz de estudiar una secuencia desde la perspectiva de una función.

1. Si se conocen el primer elemento o los primeros elementos de la secuencia {an}, y la relación entre cualquier elemento an de la secuencia {an} y su elemento anterior an-1 (o los primeros elementos) se puede expresar mediante un representa la ecuación, entonces esta fórmula se llama fórmula de recursividad de esta secuencia.

2. Una secuencia puede considerarse como una función con un dominio de ____________ (o su subconjunto limitado {1, 2, 3,..., n}). Cuando las variables independientes toman valores en orden de pequeño a grande, los correspondientes. columna ________.

3． En términos generales, en una secuencia {an}, si cada elemento que comienza en ________ es mayor que su elemento anterior, es decir, __________, entonces esta secuencia se denomina secuencia creciente. Si a partir de ________, cada elemento es menor que su elemento anterior, es decir, __________, entonces esta secuencia se llama secuencia decreciente. Si los términos de la secuencia {an} _________, entonces la secuencia se llama secuencia constante.

1. Preguntas de opción múltiple

1. Se sabe que an+1-an-3=0, entonces la secuencia {an} es ()

A. Secuencia creciente B. Secuencia decreciente

C. Término constante D. No estoy seguro

2. La fórmula de recursividad de la secuencia 1, 3, 6, 10, 15,... es ()

A. an+1＝an＋

n, n∈N＋

B. an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2

C． an+1＝an+(n+1), n∈N+, n≥2

D. an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2

3. Se sabe que el primer término de la secuencia {an} es a1=1, y satisface an+1=an+, entonces el cuarto término de esta secuencia es ()

A. 1 B.

C.

4. En la secuencia {an}, a1=1, para todo n≥2, hay a1·a2·a3...an=n2, entonces: a3+a5 es igual a ()

B.

C.D.

5. Se sabe que la secuencia {an} satisface an+1=si a1=, entonces el valor de a2 010 es ()

A.

D.

. 6. Se sabe que an=, entonces el término más grande y el término más pequeño entre los primeros 30 términos de esta secuencia son () respectivamente

A. a1, a30 B． a1, a9

C. a10, a9 D． a10, a30

2 Preguntas para completar los espacios en blanco

7. Se sabe que la suma de los primeros n términos de la secuencia {an} es Sn, y a1=3, 4Sn=6an-an-1+4Sn-1, entonces an=________.

8 . Se sabe que la secuencia {an} satisface: a1=a2=1, an+2=an+1+an, (n∈N+), entonces sea angt el valor mínimo de n de 100 es ________.

9. Si la secuencia {an} satisface: a1=1, y=(n∈N＋), entonces cuando n≥2, an=________.

10. Se sabe que la secuencia {an} satisface: an≤an+1, an=n2+λn, n∈N+, entonces el valor mínimo del número real λ es ________.

3. Responde las preguntas

11. En la secuencia {an}, a1=, an=1- (n≥2, n∈N＋).

(1) Verificar: an+3=an;

(2) Encontrar a2 010.

12. Dado que an = (n∈N＋), ¿hay un término máximo en la secuencia {an}? En caso afirmativo, encuentre el plazo máximo; en caso contrario, explique el motivo.

Mejora de habilidades

13. Se sabe que la secuencia {an} satisface a1=-1, an+1=an+, n∈N+, entonces la fórmula general an=________.

14. Supongamos que {an} es una secuencia de términos positivos cuyo primer término es 1 y (n+1)·a-na+an+1an=0 (n=1, 2, 3,...), entonces su fórmula general es ________.

La conexión y diferencia entre funciones y secuencias

Por un lado, una secuencia es una función especial. Por lo tanto, al resolver problemas de secuencia, uno debe ser bueno en el uso del conocimiento de. funciones, puntos de vista de funciones, Resolver problemas utilizando el método de pensamiento de funciones, es decir, utilizar el carácter absoluto para resolver problemas especiales.

Por otro lado, también debemos prestar atención a la particularidad de la secuencia (tipo discreto). Dado que su dominio es N+ o su subconjunto {1, 2,..., n}, su.

La imagen es una serie de puntos aislados, a diferencia de las funciones elementales que hemos estudiado antes, que generalmente son curvas continuas. Por lo tanto, a la hora de resolver problemas debemos aprovechar al máximo esta particularidad. Por ejemplo, al estudiar la monotonicidad, la imagen. secuencia Se puede ver que mientras cada uno de estos puntos sea más alto que el adyacente anterior (es decir, angt; an-1), la imagen mostrará una tendencia ascendente, es decir, la secuencia aumentará, es decir , {an} aumentará?an+1gt; an para cualquier n (n∈ N+) son todos verdaderos. De manera similar, {an} disminuye?an+1lt; an es cierto para cualquier n (n∈N+).

§1 Secuencia numérica

1.1 Concepto de secuencia numérica

Respuesta

Clasificación de conocimientos

1. Secuencia 2. Finito Infinito 3. Elementos generales

Diseño de la tarea

1. B2.A

3. D[Sustituyamos n=1, 2, 3, 4 por verificación. ]

4． C[n2-n-50=-8, obtenemos n=7 o n=-6 (descartar). ]

5. C [Sea n=1, 2, 3, 4 y sustituya A, B, C y D para la prueba. Elimina A, B y D, y elige C.]

6. D[∵an＝＋＋＋…＋

∴an＋1＝＋＋…＋＋＋,

∴an＋1－an＝＋－＝－.]

7.4 , 7 , 10, 15

8.10

Análisis ∵=, ∴n(n+2)=10×12, ∴n=10.

9 ． an＝2n＋1

Análisis a1＝3, a2＝3＋2＝5, a3＝3＋2+2＝7, a4＝3＋2＋2+2＝9,…, ∴an＝2n＋1.

10.55

Los números del triángulo analítico son: 1, 3, 6, 10, 15,..., y el número del décimo triángulo es: 1+2+3+4+...+10= 55.

11. La solución al problema de símbolos de (1) se puede expresar mediante (-1)n o (-1)n+1. La regla de disposición de los valores absolutos de cada elemento es: el valor absoluto del siguiente número es. siempre mayor que el valor absoluto del número anterior en 6, por lo que generalmente es La fórmula para el término es an=(-1)n(6n-5)(n∈N＋).

(2) La secuencia se deforma en (1-0.1), (1-0.01),

(1-0.001),…, ∴an=(n∈N＋) .

(3) Los denominadores de cada término son 21, 22, 23, 24,... Es fácil ver que los numeradores del 2º, 3º y 4º términos son 3 menos que el denominador respectivamente, el primer término se convierte en -, por lo que la secuencia original se puede reducir a -,, -,,...,

∴an=(-1)n·(n∈N＋).

(4) Unifica la secuencia como,,,,...para las moléculas 3, 5, 7, 9,..., es 2 veces el número de serie más 1. La fórmula general de la La molécula se puede obtener como bn=2n+1. Para el denominador 2, 5, 10, 17,... piense en la secuencia 1, 4, 9, 16... es decir, la secuencia {n2}, la secuencia general. La fórmula del denominador es cn=n2+1,

∴ se puede obtener. Una de sus fórmulas generales es an=(n∈N＋).

(5) an= o an=(n∈N+) o an=(n∈N+).

12. (1) Solución Supongamos que f(n)===.

Sea n=10 y obtenga el décimo término a10=f(10)=.

(2) Solución= , obtenemos 9n=300.

Esta ecuación no tiene solución entera positiva, por lo que no es un elemento de esta secuencia.

(3) Demuestre que ∵an===1-,

y n∈N＋, ∴0lt;lt;1,

∴0lt;anlt 1.

Cada elemento de la secuencia ∴ está dentro del intervalo (0, 1).

(4) Solución: lt; an=lt;,

Entonces,

Es decir, ∴lt;.

> Y ∵n∈N＋, ∴Cuando y solo cuando n=2, la fórmula anterior es verdadera, por lo que hay términos en la secuencia en el intervalo, y solo hay un término.

es a2=.

13. an＝＋(-1)n＋1

Análisis: a＝＋, b＝－,

Entonces an＝＋(-1)n＋1.

14 . La solución de la figura (1) tiene solo un punto y no tiene ramas; la figura (2) tiene dos ramas excepto un punto en el medio, y cada rama tiene un punto (3) tiene tres excepto un punto en el medio; Ramas, cada rama tiene 2 puntos; la Figura (4) tiene cuatro ramas, excepto 1 punto en el medio, y cada rama tiene 3 puntos... Supongo que en la enésima imagen, excepto un punto en el medio, hay n ramas, cada rama tiene (n-1) puntos, por lo que el número de puntos en el n-ésimo gráfico es 1+n(n-1)=n2-n+1.

1.2 Función de la secuencia Características

Clasificación de conocimientos

2. Conjunto de enteros positivos N+ Valor de función 3. El segundo elemento an+1gt; an

El segundo elemento an+1lt; an son todos iguales

Diseño del trabajo

1. A2.B3.B

4． C[a1a2a3＝32, a1a2＝22, a1a2a3a4a5＝52, a1a2a3a4＝42, luego a3＝＝, a5＝＝.

Entonces a3＋a5＝.]

5. C[Calcule a2=, a3=, a4=, por lo que la secuencia {an} es una secuencia periódica con 3 como período. También se sabe que 2010 es divisible por 3, por lo que a2

010=. a3=. ]

6． C[∵an＝＝＋1

∴El punto (n, an) está en la imagen de la función y＝＋1,

Construye la imagen de la función y＝＋1 en la coordenada rectangular sistema,

Es fácil saberlo por la imagen

Cuando x∈(0,), la función disminuye monótonamente. ∴a9lt; a8lt; a7lt; ...lt; a1lt; 1,

Cuando x∈(,+∞), la función disminuye monótonamente, ∴a11gt; .

Entonces, el término más grande entre los primeros 30 términos de la secuencia {an} es a10, y el término más pequeño es a9.]

7.3·21-n

8 . 12

9.

Análisis ∵a1=1, y=(n∈N＋).

∴··…·=···…·, es decir, an=.

10. -3

Análisis: an≤an＋1?n2＋λn≤(n+1)2＋λ(n+1)?λ≥-(2n＋1), n∈N＋?λ≥-3.

11. (1) Demuestre que an+3＝1-＝1-

＝1-

＝1-＝1-＝1-

＝1- (1- an)=an.

∴an+3=an.

(2) Solución De (1), sabemos que el período T=3 de la secuencia { an},

a1＝, a2＝-1, a3＝2.

Y ∵a2010＝a3×670＝a3＝2,

∴a2010 ＝2.

12. Solución Porque an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·=n＋1·, entonces

Cuando n≤7, n＋1·gt;0,

Cuando n=8, n+1·=0,

Cuando n≥9, n+1·lt;0,

Entonces a1lt; a3lt; ; a7lt; a8＝a9gt; a10gt; a11gt; a12gt;…,

Hay un término máximo en la secuencia {an}, y el término máximo es a8＝a9＝. >13. -

Análisis ∵an＋1－an＝,

∴a2－a1＝

a3－a2＝; ＝；

…　…

an-an-1＝；

Las fórmulas anteriores son acumuladas, an-a1＝＋

＋…＋

＝1－＋－＋…+－

＝1－.

∴an＋1＝1－，∴an＝－.

14.

Análisis ∵(n＋1)a-na＋anan＋1＝0,

∴[(n＋1)an＋1-nan]·(an＋1＋an)＝0,

p>

∵angt; 0, ∴an＋an+1gt;

∴(n＋1)an＋1－nan＝0.

Método 1＝.

∴····…·＝····…·,

∴＝.

Y ∵a1＝1, ∴an＝a1＝ .

Método 2 (n＋1)an＋1－nan＝0,

∴nan＝(n－1)an－1＝…=1×a1＝1,

∴nan＝1, an=.