¿Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada?
Para la matriz cuadrada A de segundo orden, podemos calcular directamente A**=A. Para una matriz cuadrada de orden n A mayor que el segundo orden, ya que cuando |A|=0, r(A*)≤1, todas las subfórmulas de orden n-1 de A* son todas 0, por lo que A**=O.
AA* = |A|E
|A*| = |A|^(n-1)
Cuando r(A) = n, r(A*) = n
Cuando r(A) = n-1, r(A*) = 1
Cuando r(A) lt; r(A*) = 0
Entonces tenemos
A*(A*)* = |A*|E
AA*(A* ) * = |A*|A
|A| (A*)* = |A|^(n-1) A
Entonces, cuando A es reversible, (A * )* = |A|^(n-2) A
Cuando A es irreversible, |A|=0
r(A) lt;= n-1
r(A*)lt; = 1
r((A*)*) = 0
Teorema
(1) La inversa unicidad de la matriz.
Si la matriz A es invertible, entonces la matriz inversa de A es única y la matriz inversa de A se registra como A-1.
(2) La condición necesaria y suficiente para que la matriz cuadrada A de orden n sea invertible es r(A)=m.
Para una matriz cuadrada A de orden n, si r(A)=n, entonces A se llama matriz de rango completo o matriz no singular.
(3) Cualquier matriz de rango completo se puede transformar en una matriz identidad mediante una transformación de filas elementales de orden finito.
Corolario La matriz inversa A de la matriz A de rango completo se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales.