Cómo resolver una ecuación cúbica de una variable

La fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cúbica de una variable se llama "fórmula de Cardano". La forma general de una ecuación cúbica es x3 sx2 tx u=0 .

Si haces una traslación en abscisa y=x s/3, entonces puedes eliminar el término cuadrático de la ecuación. Consideremos entonces una ecuación cúbica de la forma x3=px q

. ?

Ejemplo:

Supongamos que la solución x de la ecuación se puede escribir en la forma x=a-b, donde a y b son parámetros a determinar.

Ponlo en la ecuación

a3-3a2b 3ab2-b3=p(a-b) q?

¿Entiendes?

a3 -b3 = (a-b)(p 3ab) q?

De la teoría de ecuaciones cuadráticas, podemos saber que a y b se pueden seleccionar apropiadamente de modo que cuando x=a-b, 3ab p=0. De esta manera, la fórmula anterior se convierte en a3-b3=q. Multiplica ambos lados por 27a3 para obtener 27a6-27a3b3=27qa3.

Se puede ver a partir de p=-3ab que 27a6 p = 27qa3 es una ecuación cuadrática sobre a3, por lo que a se puede resolver.

Información ampliada

Para una ecuación cúbica de una variable que contiene términos cuadráticos pero no términos lineales, los términos cuadráticos se pueden eliminar después de la sustitución, pero aparecerán términos lineales.

Para polinomios cúbicos, el resultado de colocar un cubo puede ir seguido de un término constante o un término lineal además del término cúbico perfecto. Una idea natural es cómo convertir una ecuación cúbica general en una ecuación cúbica sin términos cuadráticos.

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