¿Cuál es la fórmula de las derivadas parciales?
La fórmula básica de las derivadas parciales: f'x=(x^2)' 2y *(x)'=2x 2y.
En matemáticas, la derivada parcial de una función con múltiples variables es su derivada con respecto a una de las variables mientras se mantienen constantes las otras variables (a diferencia de la derivada total, en la que se permite que todas las variables cambiar). Las derivadas parciales son útiles en análisis vectorial y geometría diferencial.
Si desea encontrar la función derivada parcial de f(x, y), primero trate x como una variable, y como una constante y luego calcule directamente la derivada de x. La función derivada parcial se introduce para resolver las derivadas de funciones binarias o multivariadas.
En matemáticas, la derivada parcial de una función con múltiples variables es su derivada con respecto a una de las variables, manteniendo las otras variables constantes (a diferencia de una derivada total, en la que todas las variables pueden variar). variar).
La derivada parcial es un símbolo global y no puede considerarse como un cociente diferencial. El denominador y el numerador son un todo y no se pueden separar, lo cual es diferente de dy/dx. Encontrar la derivada parcial de x es f'x=(x^2)' 2y *(x)'=2x 2y.
De hecho, el significado de derivadas parciales sigue siendo "incrementos infinitamente pequeños";
u/x sigue siendo una derivada, que tiene el mismo significado que la derivada de dy/dx .
La diferencia entre u/x y du/dx es que
el "incremento infinitamente pequeño" de dx es causado por el incremento infinitamente pequeño dx de x;
Este "incremento infinitamente pequeño" de du puede ser causado por dx, puede ser causado por dy, puede ser causado por dz,
También pueden ser los pequeños incrementos de varias de sus variables*** Causado simultáneamente, también puede ser causado colectivamente por todas las variables.
Derivadas parciales
En una función de una variable, la derivada es la tasa de cambio de la función. Al estudiar la "tasa de cambio" de una función binaria, dado que hay una variable independiente más, la situación se vuelve mucho más complicada.
En el plano xOy, cuando el punto en movimiento cambia de P(x0, y0) en diferentes direcciones, la velocidad de cambio de la función f(x, y) es generalmente diferente, por lo que es necesario estudiar f La tasa de cambio de (x, y) en diferentes direcciones en el punto (x0, y0).
Aquí solo estudiamos la tasa de cambio de f(x,y) cuando la función f(x,y) cambia a lo largo de dos direcciones especiales paralelas al eje x y paralelas al eje y.
El símbolo de las derivadas parciales es:?.
La derivada parcial refleja la tasa de cambio de la función a lo largo de la dirección positiva del eje de coordenadas.
Derivada parcial en dirección x
Supongamos que la función binaria z=f(x, y), y el punto (x0, y0) es un punto en su dominio D. Fije y en y0 y deje que x tenga un incremento △x en x0. En consecuencia, la función z=f(x, y) tiene un incremento (llamado incremento parcial de x) △z=f(x0 △x, y0)-. f(x0,y0).
Derivadas parciales Si el límite de la relación de △z a △x existe cuando △x→0, entonces este valor límite se llama función z=f(x, y) en (x0, y0) La derivada parcial de x se denota como f'x(x0, y0) o. La derivada parcial de la función z=f(x, y) con respecto a x en (x0, y0) es en realidad la derivada de la función de una variable z=f(x, y0) en x0 después de fijar y en y0 y tratar esto como una constante.
Derivada parcial en la dirección y
De manera similar, fije x en x0 y deje que y tenga un incremento △y. Si el límite existe, entonces este límite se llama función z=(x. , y ) es la derivada parcial de y en (x0, y0). Denotado como f'y(x0, y0).
Método relevante
Cuando la función z=f(x, y) está en (x0, y0), las dos derivadas parciales f'x(x0, y0) y f' y( Cuando existen ambos x0, y0), decimos que f(x, y) es diferenciable en (x0, y0).
Si una función f(x, y) es diferenciable en cada punto del dominio D, entonces se dice que la función f(x, y) es diferenciable en el dominio D.
En este momento, correspondiente a cada punto (x, y) en el dominio D, debe haber una derivada parcial con respecto a x (con respecto a y, por lo tanto, se determina una nueva función binaria en). dominio D, llamado es la función derivada parcial de f(x, y) con respecto a x (con respecto a y). Denominada derivada parcial.
Según la definición de derivadas parciales, cuando la derivada parcial de una función multivariante se calcula con respecto a una variable independiente, las variables independientes restantes se consideran constantes. La derivada es la misma que la derivada de una función de una variable.
Significado geométrico
Representa la pendiente tangente de un punto en la superficie fija.
La derivada parcial f'x(x0, y0) representa la pendiente tangente de un punto en la superficie fija al eje x; la derivada parcial f'y(x0, y0) representa la pendiente tangente; de un punto en la superficie fija al eje y.
Derivadas parciales de orden superior: si las derivadas parciales f'x(x, y) y f'y(x, y) de la función binaria z=f(x, y) aún son diferenciables, entonces esto La derivada parcial de dos funciones derivadas parciales se llama derivada parcial de segundo orden de z = f (x, y). Hay cuatro derivadas parciales de segundo orden de una función binaria: f"xx, f"xy, f"yx, f"yy.
Nota
La diferencia entre f"xy y f"yx es que: el primero primero toma la derivada parcial de x y luego usa la función derivada parcial obtenida para tomar la derivada parcial. derivada de y; la primera es encontrar la derivada parcial de y y luego la derivada parcial de x. Cuando f"xy y f"yx son continuas, el resultado de la derivación no tiene nada que ver con el orden.