Preguntas del examen final del concurso de matemáticas de la escuela secundaria

Preguntas del concurso de matemáticas de la escuela secundaria de Taiyuan 2003

1. Preguntas de opción múltiple (*** 5 preguntas, cada pregunta vale 6 puntos, con una puntuación total de 30 puntos. Cada una de las siguientes preguntas se dan cuatro conclusiones con nombres en clave en inglés, de las cuales una y solo una conclusión es correcta. Complete el nombre en clave de la conclusión correcta entre corchetes después de la pregunta. Se otorgarán cero puntos por no completar. completar, completar más o completar incorrectamente)

1． Si 4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0 (xyz≠0), entonces el valor es igual a ( )

(A) (B) (C) (D)

2. Al enviar cartas ordinarias en este puerto, la tarifa de envío es de 0,80 yuanes cuando el peso de cada carta no excede los 20 g, y la tarifa de envío es de 1,60 yuanes cuando excede los 20 g pero no más de 40 g, y así sucesivamente por cada 20 g adicionales. , la tarifa de envío es de 0,80 yuanes (la calidad de la carta está dentro de los 100 g. Si el peso de la carta enviada es de 72,5 g, el franqueo a pagar es ( )

(A) 2,4 yuanes (). B) 2,8 yuanes (C) 3 yuanes (D) 3,2 yuanes

3． Como se muestra en la siguiente figura, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ( )

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720 °

4． Las longitudes de los cuatro segmentos de línea son respectivamente 9, 5, x y 1 (x es un número real positivo. Úselos para formar dos triángulos rectángulos, y AB y CD son dos de los segmentos de línea (como se muestra en la figura). arriba), entonces x puede tomar un valor El número es ( )

(A) 2 piezas (B) 3 piezas (C) 4 piezas (D) 6 piezas

5. Un total de 100 estudiantes y profesores de las dos promociones de la escuela secundaria de una determinada escuela tomaron fotos de graduación juntos en los escalones. El fotógrafo tuvo que organizarlos en una formación escalonada con más al frente y menos atrás (número de filas). ≥ 3), y el requisito El número de personas en cada fila debe ser un número natural continuo, de modo que todos en la siguiente fila puedan ocupar el espacio entre las dos personas de la fila anterior. Luego, el esquema de disposición que cumpla con el. Los requisitos anteriores son ( )

(A ) 1 tipo (B) 2 tipos (C) 4 tipos (D) 0 tipos

2 Preguntas para completar en blanco (. ***5 preguntas, 6 puntos cada una, puntuación total 30 puntos)

6． Se sabe que, entonces.

7. Si los números reales x, y, z satisfacen , , entonces el valor de xyz es

8. Observa las siguientes figuras:

① ② ③ ④

Según las reglas de las figuras ①, ② y ③, el número de triángulos en la figura ④ es

<. p>9. Como se muestra en la figura, se sabe que el poste telefónico AB está en posición vertical sobre el suelo y su sombra brilla sobre la pendiente CD de la pendiente del suelo y el suelo BC si CD está a 45° del suelo, ∠A. = 60?,

CD=4m, BC= m, entonces la longitud del poste telefónico AB es _______m. Se sabe que la gráfica de la función cuadrática (donde a es un entero positivo) pasa por el punto A (-1, 4) y el punto B (2, 1), y tiene dos puntos de intersección diferentes con el eje x, entonces el valor máximo de b+c Para

3. Responda las preguntas (***4 preguntas, 15 puntos por cada pregunta, puntuación total de 60 puntos)

11. Como se muestra en la figura, se sabe que AB es el diámetro de ⊙O, BC es la tangente de ⊙O, OC es paralela a la cuerda AD, pasa por el punto D, dibuja DE⊥AB en el punto E, conecta AC, y cruza DE en el punto P. Pregunta EP ¿Es igual a PD? Justifica tu conclusión.

Solución:

12. Alguien alquila un automóvil para ir de la ciudad A a la ciudad B. Las ciudades que se pueden pasar en el camino y el tiempo (unidad: horas) requerido entre las dos ciudades son los que se muestran en la figura si la velocidad promedio del automóvil es. 80 kilómetros/hora, y el coste medio de un coche que recorre 1 kilómetro es 1,2 yuanes. Intente señalar la ruta más corta para esta persona desde la ciudad A a la ciudad B (se requiere un proceso de razonamiento) y averigüe el coste mínimo. el costo?

Solución:

13B. Como se muestra en la figura, en △ABC, ∠ACB=90°

(1) Cuando el punto D está dentro de la hipotenusa AB, verifica:

(2) Cuándo . el punto D coincide con el punto A, ¿existe la ecuación de la pregunta (1)? Por favor explique el motivo.

(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, ¿existe la ecuación en la pregunta (1)?

Por favor explique el motivo.

14B． Se sabe que los números reales a, b, c satisfacen: a+b+c=2, abc=4

(1) Encuentra el valor mínimo del mayor entre a, b, c;

(2) Encuentre el valor mínimo

Nota: 13B y 14B son preguntas más fáciles que las siguientes 13A y 14A y las 12 preguntas anteriores forman una prueba de examen. Las siguientes preguntas 13A y 14A en las dos páginas se pueden reservar para preguntas de estudio posteriores al examen

13A. Como se muestra en la figura, la longitud del diámetro de ⊙O es la raíz entera más grande de la ecuación cuadrática (k es un número entero) alrededor de x es un punto fuera de ⊙O, y la tangente PA y la secante PBC de ⊙O. se dibujan a través del punto P, donde A es el punto tangente, y los puntos B y C son las intersecciones de las líneas rectas PBC y ⊙O Si las longitudes de PA, PB y PC son todas enteras positivas, y la longitud de PB. no es un número compuesto, encuentre el valor

Solución:

14A．. Hay algunos números colocados a lo largo de la circunferencia del círculo. Si hay cuatro números conectados a, b, cyd que satisfacen la desigualdad > 0, entonces las posiciones de b y c se pueden intercambiar.

(1) Si los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 se colocan en la circunferencia en secuencia, pregunte: ¿Es posible calcular los 4 números a, b, c, d que ¿Están conectados en cualquier orden en la circunferencia después de un número finito de operaciones, ambos ≤0? Por favor explique el motivo.

(2) Si hay 2003 enteros positivos 1, 2,..., 2003 colocados en la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj de pequeño a grande, P: ¿Se puede hacer después de un? ¿Número finito de operaciones? ¿Alguno de los cuatro números a, b, c, d está conectado en secuencia en la circunferencia ≤ 0? Por favor, explique los motivos.

Respuestas: (1)

(2)

Respuestas y puntuaciones de referencia para la secundaria nacional "TRULY? Truly Cup" de 2003. Estándares de preguntas del examen del concurso escolar de matemáticas

1. Preguntas de opción múltiple (6 puntos por cada pregunta, puntuación total de 30 puntos)

1. D

Resuelto de , solo sustitúyelo.

2. D

Debido a que 20 × 3 <72,5 <20 × 4, según el significado de la pregunta, se puede ver que el franqueo requerido es 0,8 × 4 = 3,2 (yuanes).

3. C

Como se muestra en la figura, ∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°, ∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°,

Y ∠BMN +∠ FNM =∠D+180°, entonces

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°. D

Obviamente AB es el más largo de los cuatro segmentos de recta, entonces AB=9 o AB=x

(1) Si AB=9, cuando CD=x, ;

Cuando CD=5, ,

Cuando CD=1, ,

(2) Si AB=x, cuando CD=9 , , .

Cuando CD=5, , ;

Cuando CD=1, ,

Entonces el número de valores posibles de x es 6

5． B

Supongamos que hay k personas en la última fila y n filas al final, entonces el número de personas en cada fila de atrás hacia adelante es k, k+1, k+2,... ,k+(n- 1), podemos saberlo por el significado de la pregunta, es decir,

Debido a que k y n son enteros positivos y n≥3, entonces n<2k+(n-1). ), y n y 2k+(n-1) La paridad es diferente Al descomponer 200 en factores primos, podemos ver que n=5 o n=8, cuando n=8, k. =9. ***Hay dos soluciones diferentes.

6．

= .

7.1.

Porque,

Entonces, la solución es .

Entonces

8.161.

Según las reglas de ①, ② y ③ en la figura, se puede ver que el número de triángulos. en la figura ④ es

1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161 (piezas

9).

Como se muestra en la figura, extienda AD para cruzar el suelo en E y pase D para dibujar DF⊥CE en F.

Porque.

∠DCF=45°, ∠A=60°, CD=4m,

Entonces CF=DF= m, EF=DFtan60°= (m). m).

10.-4.

Dado que la gráfica de la función cuadrática pasa por el punto A (-1, 4) y el punto B (2, 1), entonces

p>

La solución es

Debido a que la gráfica de la función cuadrática tiene dos puntos de intersección diferentes con el eje x, entonces,

, que es, dado que a es un entero positivo, entonces,

Entonces ≥ 2. Y porque b+c=-3a+2≤-4, y cuando a=2, b=-3, c=- 1, el significado de la pregunta está satisfecho, entonces b+c El valor máximo es -4

3 preguntas (***4 preguntas, 15 puntos cada una, puntuación total 60 puntos)

11. Como se muestra en la figura, se sabe que AB es el diámetro de ⊙O, BC es la tangente de ⊙O, OC es paralela a la cuerda AD, pasa por el punto D, dibuja DE⊥AB en el punto E, conecta AC, y cruza DE en el punto P. Pregunta EP ¿Es igual a PD? Demuestra tu conclusión

Solución: DP=PE La prueba es la siguiente:

Porque AB es el diámetro de ⊙O y BC es la recta tangente,

Entonces AB⊥ BC

De Rt△AEP∽Rt△ABC, obtenemos ①... (6 puntos)

Y AD‖OC, entonces ∠DAE=∠ COB, entonces Rt△AED∽ Rt△OBC

Entonces ②... (12 puntos)

De ①, ② obtenemos ED=2EP

Entonces DP=PE ……( 15 puntos)

12. Alguien alquila un automóvil para ir de la ciudad A a la ciudad B. Las ciudades que se pueden pasar en el camino y el tiempo (unidad: horas) necesario para pasar entre las dos ciudades son los que se muestran en la figura si el automóvil está viajando. /p> p>

La velocidad promedio de un automóvil es de 80 kilómetros por hora y el costo promedio de conducir un automóvil por kilómetro

es de 1,2 yuanes. Intente señalar el camino más corto para esto. persona para viajar de la ciudad A a la ciudad B. ¿Ruta (es necesario tener un proceso de razonamiento) y averiguar el costo mínimo requerido?

Solución: Las rutas de la Ciudad A a la Ciudad B se dividen en las siguientes dos categorías:

(1) De la Ciudad A a la Ciudad B, pasando por la Ciudad O. Porque desde la Ciudad A a Ciudad El tiempo mínimo requerido para este tipo de ruta es de 26 horas, y el tiempo mínimo requerido para esta ruta es de 26 horas

El tiempo mínimo requerido para esta ruta es de 26 horas (. horas).... (5 minutos)

(2) De la ciudad A a la ciudad B, no pasa por la ciudad O. En este momento, cuando llega a la ciudad B desde la ciudad A, debe hacerlo. pasar por las ciudades C y D, E o F, G, H, el tiempo requerido es de al menos 49 horas... (10 minutos)

En resumen, el tiempo más corto necesario para llegar desde. De una ciudad a una ciudad B son 48 horas, la ruta tomada es:

A→F→O→E→B ……(12 puntos)

La tarifa mínima requerida es:

80×48×1.2=4608 (yuanes)…(14 puntos)

Respuesta: La ruta más corta para esta persona de la ciudad A a la ciudad B es A→F→O→ E→B, que requiere el menor costo Es 4608 yuanes...(15 puntos)

13B． Como se muestra en la figura, en △ABC, ∠ACB=90°

(1) Cuando el punto D está dentro de la hipotenusa AB, verifica:

(2) Cuándo . el punto D coincide con el punto A, ¿existe la ecuación de la pregunta (1)? Por favor explique el motivo.

(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, ¿existe la ecuación en la pregunta (1)? Por favor explica la razón.

Solución: (1) Como DE⊥BC, el pie vertical es E. Del teorema de Pitágoras, obtenemos

Entonces. >Porque DE‖ AC, entonces.

Por lo tanto... (10 puntos)

(2) Cuando el punto D coincide con el punto A, la ecuación en cuestión (1) sigue siendo válida. .

En este momento, AD=0, CD=AC, BD=AB.

Entonces,

Así, se establece la ecuación de la pregunta (1)... (13 puntos). )

(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, la ecuación en cuestión (1) no es válida

Considere DE⊥BC y interseca la extensión de BC. La recta está en el punto E, entonces

Y,

Entonces... (15 puntos)

〖Explicación〗Para la pregunta (3), simplemente responda la ecuación es suficiente si no está establecida (no se descontarán puntos si no se indica claramente el motivo del fallo

14B). Se sabe que los números reales a, b, c satisfacen: a+b+c=2, abc=4

(1) Encuentra el valor mínimo del mayor entre a, b, c;

(2) Encuentra el valor mínimo

Solución: (1) Sea a el mayor de a, b, c, es decir, a≥b, a≥c,. sabemos por la pregunta a>0,

Y b+c=2-a,

Entonces b, c son las dos raíces reales de la ecuación cuadrática, ≥0,.

≥0, ≥0. Entonces a≥4...(8 puntos)

Y cuando a=4, b=c=-1, el significado de la pregunta. se cumple

Entonces el valor mínimo del mayor entre a, b, c es 4. ...(10 puntos)

(2) Porque abc>0, entonces a. , b, c son todos mayores que 0 o uno más dos Negativo

1) Si a, b, c son todos mayores que 0, entonces por (1) sabemos que el mayor de a, b. , c no es menor que 4, lo cual es consistente con la contradicción a+b+c=2

2) Si a, b, c son uno positivo o dos negativos, suponiendo a>0, b. <0, c<0, entonces

,

De (1), sabemos que a≥4, entonces 2a-2≥6 Cuando a=4, b=c. =-1, se cumplen las condiciones de la pregunta y se establece el signo igual de desigualdad.

Por tanto, el valor mínimo de es 6. ...(15 puntos)

13A. Como se muestra en la figura, la longitud del diámetro de ⊙O es la raíz entera más grande de la ecuación cuadrática (k es un número entero) alrededor de x es un punto fuera de ⊙O, y la tangente PA y la secante PBC de ⊙O. se dibujan a través del punto P, donde A es el punto tangente, y los puntos B y C son las intersecciones de la línea recta PBC y ⊙O Si las longitudes de PA, PB y PC son todas enteras positivas, y la longitud de PB. no es un número compuesto, encuentra el valor.

Solución: Supongamos que las dos raíces de la ecuación son, , ≤ . De la relación entre las raíces y los coeficientes, obtenemos

-. --- ①, ---- ②

Sabemos por la pregunta y ① , , son todos números enteros. Eliminando k de ①, ②, obtenemos,

. p>

De la fórmula anterior, sabemos, y cuando k=0, entonces la raíz entera más grande es 4.

Entonces el diámetro de ⊙O es 4, por lo que BC≤4.

Porque BC=PC-PB es un entero positivo, entonces BC=1, 2, 3 o 4. ……(6 puntos)

Conecta AB y AC, porque ∠PAB =∠PCA, entonces PAB∽△PCA,

Entonces ③……(10 puntos)

(1) Cuando BC=1, de ③, entonces, ¡una contradicción!

(2) Cuando BC=2, obtenemos de ③, entonces, ¡una contradicción!

(3) Cuando BC=3, de ③, , , entonces,

Dado que PB no es un número compuesto, combinado solo es posible

, ,

La solución es

En este momento

(4) Cuando BC=4, de ③, obtenemos, entonces es a. contradicción.

En resumen... (15 puntos)

14A. Hay algunos números colocados a lo largo de la circunferencia del círculo. Si hay cuatro números conectados a, b, cyd que satisfacen la desigualdad > 0, entonces las posiciones de b y c se pueden intercambiar.

(1) Si los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 se colocan en la circunferencia en secuencia, pregunte: ¿Es posible calcular los 4 números a, b, c, d que ¿Están conectados en cualquier orden en la circunferencia después de un número finito de operaciones, ambos ≤0? Por favor explique el motivo.

(2) Si hay 2003 enteros positivos 1, 2,..., 2003 colocados en la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj de pequeño a grande, P: ¿Se puede hacer después de un? ¿Número finito de operaciones? ¿Alguno de los cuatro números a, b, c, d está conectado en secuencia en la circunferencia ≤ 0? Por favor explique el motivo.

Respuesta: (1) La respuesta es sí. Las operaciones específicas son las siguientes:

......(5 puntos)

.

(2) La respuesta es Definitivamente Considera que la suma de los productos de dos números adyacentes de estos números de 2003 es P. ...(7 puntos)

Al principio, =1×. 2+2×3+3×4+…+ 2002×2003+2003×1 Después de k (k≥0) operaciones, la suma de los productos de dos números adyacentes de estos 2003 números es. Hay 4 números a, b, c conectados en secuencia en la circunferencia, d satisface la desigualdad> 0, es decir, ab + cd> ac + bd Después de intercambiar las posiciones de b y c, la suma de los productos de dos adyacentes. números de estos números de 2003 es, hay

Entonces, es decir, cada En una operación, la suma de los productos de dos números adyacentes se reduce en al menos 1. Dado que el producto de dos números adyacentes es. es siempre mayor que 0, después de un número finito de operaciones, para cuatro números consecutivos conectados a, b, c, d, debe haber ≤ 0.......(15 puntos).