Preguntas y respuestas del examen del Capítulo 1 del Volumen 2 de Matemáticas para el octavo grado
1. Se sabe que dos rectas son paralelas y sus ángulos internos de desviación son iguales; se sabe que dos rectas son paralelas y sus ángulos internos son iguales;
2. Demuestre:
∵AD//CB,
∴∠ACD=∠CAD.
∵CB=AD, CA=AC,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
3. Prueba:
(1) ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠DBC=∠ECB, es decir, ∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC (equiangular a lados iguales).
(2) En △ABD y △ En ACE,
∴△ABD≌△ACE (ASA),
∴AD=AE.
∵AB=AC,
∴AB-AE=AC-AD, es decir, BE=CD.
4 Demuestre:
∵BD, CE es la altura de △ABC y BD=. CE, y BC =BC,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE (HL),
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB= AC, es decir, △ ABC es un triángulo isósceles.
Solución: En Rt△ABC,
∵∠BAC=90°, AB=AC=a,
∴BC=√2a.
∵AD⊥BC，
∴BD=1/2BC=√2/2a.
∵ AD⊥BC，∠ B=45°,
∴AD=BD=√2/2a.
6. Solución: ①Rt△AOD≌Rt△AOE.
Prueba:
∵BD alto, CE se cruza en el punto O,
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵OD=OE , AO=AO,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE (HL).
②Rt△BOE≌Rt△COD.
Prueba:
De ① sabemos que ∠BEO=∠CDO=90°,
Y ∵OE=OD y ∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△ DQO (ASA).
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③Rt△BCE≌Rt△CBD.
Prueba:
De ② sabemos que ∠BEC=∠ CDB=90°, BE=CD y BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD (HL).
④△ABM≌△ACM.
Prueba:
Por ③ sabemos ∠ABC=∠ACB, y por ① sabemos ∠BAM=∠CAM, y también
∵AM=AM,
∴△ABM≌△ACM (AAS).
⑤Rt△ABD≌Rt△ACE.
Prueba:
∵∠ADB=∠ AEC=90°, ∠BAD=∠CAE, y de ① sabemos AE=AD ,
∴△ABD≌Rt△ACE (ASA).
⑥△BOM≌△ COM.
Prueba: De ① sabemos ∠AOE=∠AOD , de ② sabemos que ∠BOE=∠COD,
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD, es decir, ∠AOB=∠AOC,
∴∠BOM=∠COM.
De ③, sabemos que ∠BOC=∠OCB,
Y ∵OM=OM.
∴△BOM≌△COM (AAS).
7. Conocido: En △ABC, AB=AC, verifique: ∠B y ∠C son ambos ángulos agudos.
Demostración: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C Supongamos que ∠B y ∠C son ambos ángulos rectos o obtusos, por lo que ∠B+∠C≥180°, lo cual es inconsistente con la Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Por lo tanto, ∠B y ∠C deben ser ángulos agudos. Es decir, el ángulo base de un triángulo isósceles debe ser agudo.
8. El motivo es el siguiente:
∵AB =AD,
∴∠B=∠ADB=64°,
∴△BAD=180°-∠ ADB-∠B=180°-64°-64°=52°.
∵∠BAC=72°,
Y ∠BAC=∠BAD+∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°- 52°=20°.
∵AD=DE, ∠E=55°,
∴DAE=∠E=55° (lados iguales a ángulos iguales).
∵∠DAE=∠DAC+∠FAE,
∴∠FAE=∠DAE-∠DAC=55°-20°=35°.
∵∠AFD=∠FAE+∠E,
∴∠AFD=35°+55°=90°,
∴△AFD es un triángulo rectángulo .