4 preguntas de matemáticas obligatorias de secundaria (es mejor que las siguientes preguntas tengan un proceso de resolución de problemas)

(La pregunta original omitió la mitad del corchete) (AB/│AB│ representa el vector unitario en la misma dirección que el vector AB, su módulo = 1. El resto son similares)

Solución: ( AB/|AB|)?(AC/|AC|)=1×1×cosA =? , entonces A=60°

[(AB/|AB|) + (AC/|AC| )]?BC=│(AB/｜AB｜)+ (AC/｜AC｜)││BC│cos(A/2+C)=0

Obtener cos(A/2+C )=0, entonces A/2+C=90°, ∴C=90°-60°/2=60°,

△ABC es un △ equilátero.

2. En el cuadrilátero ABCD, BD es una de sus diagonales, y BC=λ(AD) (λ∈R), |AB|=|AD|=2,

|CB-CD|= 2√3

(1). Si el triángulo BCD es un triángulo rectángulo, encuentre el valor de λ

(2). ), encuentre CB?BA

Solución: (1) │CB-CD│=│DB│=2√3

En △ABD, │DB│?=│AD│ ?+│AB│?- 2│AD││AB│cosA

Es decir, 12=4+4-8cosA, entonces cosA=-1/2, ∴A=120°, ∠ABD= ∠ADB=30°

BC=λ(AD), entonces BC‖AD, y │BC│=λ│AD│=2λ

∠DBC=∠ABC-∠ABD =60°-30°=30 °

∠C=90°, entonces │BC│=2(√3)cos30°=3=2λ, ∴λ=3/2

(2)CB?BA =│CB││BA│cos120°=3×2×(-1/2)=-3

3. Construye un triángulo rectángulo isósceles OAB con origen y punto A (5, 2) como vértices, sea ∠B=90°,

Encuentra las coordenadas del punto B y el vector AB.

Solución: │OA│=√29, el punto medio de OA es M(5/2, 1), toma M como centro del círculo y dibuja un círculo con │OA│/2= (√29)/2 como el radio M:

M: (x-5/2)?+(y-1)?=29/4

La línea vertical. dibujando OA a través de M: y=-(5/2)(x-5/2)+1=-(5/2)x+29/4, sustitúyalo en la ecuación de park M y simplifíquelo para obtener

4x?-20x+21=( 2x-7)(2x-3)=0

La solución es x?=3.5, x?=1.5.

Entonces y?=-1.5, y?=3.5

Es decir, B?(3.5, -1.5); B?(1.5, 3.5)

Vector AB ?=-1.5i - 3.5j

Vector AB?= -3.5i +1.5j

4. son O(0,0), A(3,0), B(0,3), respectivamente, P está en el segmento AB, y el vector AP=t por el vector AB, (0≤). t≤1), entonces el valor máximo del vector OA?vector OP es _.

Solución: OA?OP=│OA││OP│cos∠AOP≤│OA│?=9

Cuando t=0, es decir, cuando el punto P coincide con el punto A, ¿qué es OA? OP obtiene el valor máximo 9.

5. Las coordenadas de un vector cuyo ángulo es igual al vector a=(7/2,?) y al vector b=(?,7). /2) y cuyo módulo es 1 sí_.

Solución: El vector unitario a°=a/│a│=a/(25/2)=2a/25

está en la misma dirección que el vector b Vector unitario b °=b/│b│=b/(25/2)=2b/25

El vector suma de a° y b° c=a°+b°=(2/25) (a +b)

El ángulo entre los vectores a y b en el plano del vector c.

El vector unitario c°=c/│c│=c/( en la misma dirección como vector c 2/25)√2=(a+b)/√2=(√2)a/2+(√2)b/2

Entonces el vector unitario es igual al ángulo entre los vectores a y b Las coordenadas de c° son (√2/2, √2/2)

6. Tres puntos conocidos A (1, 2), B (3, 1), C (. -1, 0), intenta responder las siguientes preguntas:

(1) Usa coordenadas para representar el vector AB y encuentra su módulo

(2) Encuentra el punto D donde; vector AB = vector CD Las coordenadas de

Solución: (1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), │AB│=√[2?+(-1)?]=√5

(2) Supongamos D(x, y), luego CD=(x+1, y-0)=(2, -1)

Entre ellos, x+1= 2, x=1, y=-1, entonces D(1,-1)

(3)AC=(-2, -2)

¿Cuál es la pendiente k? de la recta donde se encuentra AB? =-1/2; La pendiente de la recta AC es k?=1

Por lo tanto, la tangente del ángulo θ de AC a AB es tanθ=( k?-k?)/(1+k?k? )=(-1/2-1)/(1-1/2)=-3

Entonces obtenemos cosθ=-1/ √(1+tan?θ)=-1/√10, sinθ=√(1-1/10)=3/√10,

(4) El área del cuadrilátero plano ABCD es S=│AB││AC│sinθ=(√5)×(√8) ×(3/√10)=6

7. Vector en el plano OA=(1,7), vector OB=(5,1), vector OP=(2,1), el punto Q es un punto en movimiento en la recta OP

.

(1) Cuando el vector QA?vector QB toma el valor mínimo, encuentre las coordenadas del vector OQ

(2) Cuando el punto Q satisface las condiciones y conclusiones de (1) Cuando , encuentre el valor de cos∠AQB.

Solución: (1) Q está en OP, por lo que las coordenadas de Q se pueden establecer como (2y, y), donde 0≤y≤1.

QB=(5 -2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)

QA?QB=(5-2y)(1-2y)+(1-y)(7-y )= 5y?-20y+12=5(y-2)?-8

Cuando y=1, QA?QB obtiene el valor mínimo (-3)

(2 ) En este momento Q(2, 1), QB=(3, 0), QA=(-1, 6)

cos∠AQB=QA?QB/│QA││QB│=- 3/(3 √37)=-1/√37.

8. Se sabe que los vectores a y b son vectores distintos de cero cuando el módulo del vector a+t multiplicado por el vector b (t). ∈R) toma el valor mínimo:

(1) Encuentre el valor de t;

(2) Verifique que el vector b es perpendicular al vector a+t multiplicado por el vector b.

Solución: (1) Para simplificar el problema, tome la intersección O de a y b como origen de las coordenadas. El vector b está en el eje x y en la misma dirección que el eje x. eje, y a está en el primer cuadrante

En

a+tb=(m+tk, n)

│a+tb│=√[(m+kt )?+n?]=√(k?t?+2mkt+m ?+n?)=√[k?(t+m/k)?+n?]≥n

El igual el signo es verdadero cuando t=-m/k, en este momento │a+tb│ min=n, a+tb=(0, n)

(2)b?(a+tb)= k×0×n=0, y b?(a+tb)= │b││a+tb│cosθ=0

Entre ellos, θ es el ángulo entre a y a+tb , │b│≠0, │a+tb│≠0, entonces debe haber cosθ=0 , es decir, θ=90°

Es decir, b⊥(a+tb), entonces demuestra .

9. Se sabe que AD, BE y CF son las tres alturas del triángulo ABC. Demuéstrelo: AD, BE, CF se cortan en un punto.

Solución: Parece difícil probar esta pregunta usando vectores. Echa un vistazo a la geometría elemental la próxima vez. ¡No hagas tantas preguntas a la vez, lleva demasiado tiempo!