Resumen del curso Comprensión de la fórmula diferencial de Ito y la fórmula de Black-Scholes
Este artículo es en realidad un trabajo de curso asignado por el profesor después de estudiar el capítulo sobre el movimiento browniano en las últimas dos semanas. Está escrito de manera más matemática, pero no demasiado rigurosa. Había muchos lugares que no entendía, así que no los escribí. Principalmente para comprender las definiciones y fórmulas y resolver el proceso de derivación de la ecuación de Black-Scholes. Consulte principalmente dos artículos del maestro Zhihu Ishikawa (ver el final del artículo).
Para una comprensión intuitiva del movimiento browniano geométrico, consulte la simulación Monte Carlo de ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) (implementada en Python) y la simulación de soluciones numéricas del movimiento browniano geométrico
Definición: proceso estocástico Se llama movimiento browniano si satisface las tres condiciones siguientes:
Si entonces se llama movimiento browniano estándar.
De la definición podemos saber:
1. El estado del movimiento browniano estándar es
2. Se puede deducir que el movimiento browniano es un Markov; proceso, el estado después de cualquier momento solo está relacionado con el estado en ese momento y no tiene nada que ver con la historia. Además, también se puede demostrar que es un proceso martingala y un proceso normal (es decir, un proceso gaussiano); /p>
3. En cualquier intervalo de tiempo finito Los cambios en el movimiento browniano estándar interno obedecen a una distribución normal con una media de 0 y una varianza de , y su varianza aumentará linealmente con la duración del intervalo de tiempo.
Algunas enumeraciones simples e inmutables.
Si es movimiento browniano estándar, entonces
(1) Simetría:
(2) Transformación del punto de partida:
(3 ) Transformación de escala:
(4) Inversión de tiempo:
(5) Inversión de tiempo:
También es un movimiento browniano estándar.
Para cualquier número positivo dado M, existe
Esta es probablemente la propiedad mejor comprendida: el movimiento browniano es continuo, pero su derivada en cualquier punto tiene una probabilidad finita de 0, es decir, Para casi cualquier punto de cada órbita muestral, su derivada no existe, es decir, es fija y el movimiento browniano es indiferenciable. Se puede demostrar además que el movimiento browniano es indistinguible en todas partes (lo que demuestra que no hay inocencia).
No tengo un conocimiento profundo de otras propiedades del libro, así que hablaré de las propiedades que he visto en otros lugares.
(1) La trayectoria del movimiento browniano frecuentemente cruzará el eje del tiempo, es decir, fluctuará hacia arriba y hacia abajo en el eje del tiempo. En realidad, cada estado del movimiento browniano en el libro siempre regresa (. a es retorno constante cero) Prueba de
(2) En cualquier momento, su posición no se desviará demasiado de más o menos una desviación estándar ( )
Leí este concepto de En otros lugares, solo en el libro Se habla del proceso de variación cuadrática del movimiento browniano, es decir,
Definición:
Considerando un intervalo de tiempo y una división dentro del intervalo, entonces para cualquier función continua, su variación cuadrática se define como:
Corolario:
Para una función que es continua y diferenciable en todos los puntos anteriores, se puede obtener mediante el teorema del valor medio
Por lo tanto, cuando la segmentación del intervalo es suficientemente fina, la variación cuadrática de la función es
Simplemente reemplace lo anterior con la variación cuadrática del movimiento de Brown:
Pero La inferencia cambia:
Es decir, cuando la segmentación del intervalo es lo suficientemente fina, la variación cuadrática del proceso aleatorio es (longitud del intervalo), no 0
Comprensión:
Para el movimiento browniano, su variación cuadrática distinta de cero muestra que la aleatoriedad lo hace fluctuar con demasiada frecuencia, de modo que no importa cómo subdividamos el intervalo y cuán pequeño sea el intervalo dividido, el cuadrado de la diferencia de desplazamiento en estos pequeños intervalos es La suma acumulada pieza por pieza (el significado geométrico de la variación cuadrática) no desaparecerá (es decir, la variación cuadrática no es 0), pero es igual a la longitud de este intervalo
En resumen , el movimiento browniano La fórmula de variación cuadrática también se puede escribir como, que es la clave para derivar la fórmula diferencial de Ito.
¿Cómo entender esta fórmula? Primero escríbalo en forma de incremento:
Compare la relación entre el incremento y el diferencial de la función determinista general:
Encontramos que el incremento del movimiento browniano es proporcional a, y es proporcional al general La diferencia entre la relación entre el incremento y el diferencial de la función determinista es que el incremento y el diferencial del movimiento browniano ya no tienen una relación lineal, lo que significa que la curva no se puede "sustituir directamente" cerca de ningún punto de la órbita de muestra de Brown. Esto también constituye la diferencia esencial entre ecuaciones diferenciales estocásticas y ecuaciones diferenciales deterministas.
Si una función tiene derivadas parciales continuas hasta el orden en un determinado dominio de puntos, entonces, para cualquier punto dentro de ella, existe una correspondiente tal que
donde,
Si solo necesitamos, entonces solo necesitamos tener derivadas parciales continuas de orden en la memoria, entonces tenemos
Esta fórmula nos ayudará a derivar la fórmula diferencial de Ito
Supongamos que la función real tiene una derivada parcial continua de segundo orden. Con respecto a las derivadas parciales continuas de primer orden, si es un movimiento browniano con parámetros, entonces
La condición de prueba dada en el libro es que hay son derivadas parciales continuas de segundo orden sobre y .
La idea de la prueba es realizar una expansión de Taylor hasta el segundo orden, y luego tratar con los términos infinitesimales. No entraré en el proceso específico, simplemente escribiré mis ideas y lo que entiendo.
(1) De a
La primera es obviamente una forma diferencial intuitiva, pero dado que el movimiento browniano no es diferenciable en todas partes, tal diferencial no es factible
(2) El motivo de la expansión al segundo orden
De la expansión de Taylor de funciones generales:
A partir del segundo término, todas son superiores -infinitésimos de orden, por lo tanto, se puede omitir, dejando solo el primer término,
Pero el movimiento browniano no, aparecerá la derivada parcial de segundo orden, y ya no es un infinitesimal de orden superior, por lo que no se puede omitir;
(3) Procesamiento de términos infinitesimales
, , , y el tercero es obviamente que el primero y el segundo usan los 2.3 y 2.4 anteriores.
Modelo de ecuación de difusión:
donde y son funciones de y .
Deduzcamos la ecuación diferencial estocástica que satisface el proceso estocástico:
Se sustituirá en la ecuación anterior, donde,
Ignorando el infinitesimal de orden superior términos, podemos obtener:
p>
Desde aquí también podemos sentir que las soluciones de las ecuaciones diferenciales estocásticas a menudo se adivinan primero y luego se verifican.
Supongamos que el proceso aleatorio satisface
donde es una constante, es el movimiento browniano estándar, y la solución que satisface la ecuación diferencial anterior se llama movimiento browniano geométrico.
La solución se da aquí:
Aquí se omite el trasfondo económico de la fórmula. Desde un punto de vista matemático, la fórmula en realidad está pensando en cómo eliminar.
Satisface SDE:
Satisface SDE:
Definir el valor de la cartera de valores como, que satisface:
Sustituir y en el fórmula anterior, podemos Obtener:
Esto se compensa, es decir, se elimina el término de riesgo de la tasa de rendimiento instantánea.
En un mercado donde no existe el arbitraje libre de riesgo, la tasa de rendimiento instantánea de la cartera de inversiones debe ser igual a la tasa de rendimiento libre de riesgo, es decir,
Sustituyendo y en la fórmula anterior, podemos obtener:
p>
Simplifica para obtener:
La ecuación anterior se llama ecuación diferencial.
[Materiales de referencia]
"Proceso estocástico Fang Zhaoben Tercera edición"
Movimiento browniano, lema de Ito, fórmula BS (Parte 1)
Movimiento browniano, Lema de Ito, Fórmula BS (Parte 2)
Serie de estudios económicos y financieros: Lema de Ito