Las cuatro etapas del desarrollo del álgebra: aritmética, álgebra elemental, álgebra avanzada y álgebra abstracta
Transferencia de Zhihu
La aritmética generalmente se refiere a las cuatro operaciones de números naturales y fracciones positivas. Al mismo tiempo, como parte del plan de estudios de la escuela primaria moderna, se incluyen algunos problemas de aplicación simples. se introducen principalmente mediante el conteo y la medición. Aunque el contenido principal de la aritmética no es muy difícil, es la rama más antigua de las matemáticas. Se ha acumulado gradualmente durante miles de años y se ha solidificado continuamente en la conciencia de las personas como experiencia. Los números naturales son conceptos abstractos creados para satisfacer las necesidades de cálculo y conteo en la producción y la vida. Además de la necesidad de contar, se calculan diversas cantidades, como la longitud, el peso y el tiempo, de ahí la aparición de fracciones. El desarrollo de los métodos modernos de operaciones aritméticas elementales se originó en la India en los siglos X u XI y se extendió a Europa a través de los árabes; En el siglo XV se transformó a su forma actual. A mediados del siglo XIX, Glassmann logró por primera vez seleccionar un sistema de axiomas básicos que definieran las operaciones de suma y multiplicación; de este sistema podían derivarse otras proposiciones de la aritmética como consecuencias lógicas. Posteriormente, Piano mejoró aún más el sistema de Glassmann. Los conceptos básicos de la aritmética y las reglas de la inferencia lógica se basan en actividades prácticas humanas, reflejan profundamente la regularidad objetiva del mundo y forman la base más sólida para otras ramas de las matemáticas.
El álgebra elemental es la evolución, generalización y desarrollo de la aritmética antigua. En la antigüedad, cuando la aritmética acumulaba una gran cantidad de soluciones a problemas cuantitativos, con el fin de buscar métodos más sistemáticos y universales para resolver diversos problemas de relaciones cuantitativas, se produjo el álgebra elemental en la que la solución de ecuaciones era el problema central. Durante mucho tiempo, los matemáticos entendieron el álgebra como la ciencia de las ecuaciones y centraron sus principales esfuerzos en el estudio de las ecuaciones. Es decir, estudia la teoría y los métodos de las operaciones algebraicas de números y palabras. Para ser más precisos, estudia la teoría y los métodos de las operaciones algebraicas de polinomios.
Cuando se analizan ecuaciones, el primer paso es cómo expresar las relaciones cuantitativas reales como expresiones algebraicas y enumerar las ecuaciones basadas en las relaciones equivalentes. Las expresiones algebraicas incluyen tres categorías: números enteros, fracciones y radicales. Las expresiones algebraicas pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división, así como exponenciación y raíz cuadrada, y obedecen las leyes básicas de operación.
Durante el desarrollo de la resolución de problemas de ecuaciones, el sistema numérico se fue ampliando. Los conceptos de números enteros y fracciones discutidos en aritmética se extienden al rango de números racionales, de modo que se pueden resolver más problemas en álgebra elemental. Pero todavía hay algunas ecuaciones que no tienen solución dentro del rango de números racionales. Por lo tanto, el concepto de número se amplió una vez más a números reales y luego se amplió aún más a números complejos.
Entonces, ¿todavía hay ecuaciones sin solución en el rango de los números complejos? ¿Aún es necesario ampliar los números complejos? ¡NO! Un famoso teorema de álgebra, el teorema fundamental del álgebra, muestra que una ecuación de grado n tiene n raíces. El 15 de diciembre de 1742, Euler expuso claramente el teorema fundamental del álgebra en una carta, y el matemático alemán Gauss hizo una demostración rigurosa en 1799.
Con base en la descripción anterior, el contenido básico del álgebra elemental es:
Del contenido básico anterior, se puede ver que el aprendizaje del contenido de álgebra elemental se establece en el mundo moderno. Plan de estudios de la escuela secundaria como parte de la aritmética. Continuando y ampliando, el problema principal es el número finito de operaciones algebraicas en expresiones algebraicas y la solución de las ecuaciones resultantes.
Una breve historia del desarrollo de la resolución de ecuaciones algebraicas:
El álgebra elemental se ha desarrollado aún más en dos direcciones: ecuaciones lineales con más incógnitas; ecuaciones de orden superior con incógnitas más altas. El desarrollo en estas dos direcciones ha permitido que el álgebra se desarrolle hasta la etapa de álgebra avanzada. Álgebra avanzada es un término general para el desarrollo del álgebra hasta una etapa avanzada, que incluye muchas ramas. El álgebra avanzada que se enseña actualmente en las universidades generalmente incluye dos partes: álgebra lineal y álgebra polinomial.
Los objetos de investigación del álgebra avanzada se amplían aún más sobre la base del álgebra elemental y se introducen nuevos conceptos que incluyen conjuntos, vectores, espacios vectoriales, matrices, determinantes, etc. Estos nuevos conceptos tienen características operativas similares a las de los números, pero sus métodos de investigación y métodos operativos son más abstractos y complejos. La operación de nuevos objetos no siempre es la ley de operación básica de los números simbólicos.
Por lo tanto, el álgebra ha incorporado sistemas algebraicos que incluyen la teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos. La teoría de grupos es una herramienta poderosa para estudiar las leyes de simetría de las matemáticas y los fenómenos físicos, y también se ha convertido en el concepto matemático más general e importante de las matemáticas modernas. , muy utilizado en otros sectores.
Contenido básico de álgebra avanzada.
Los polinomios pueden considerarse como una clase de funciones simples con una amplia gama de aplicaciones. El problema central de la teoría polinomial es el cálculo y distribución de las raíces de ecuaciones algebraicas, también llamada teoría de ecuaciones. El estudio de la teoría polinomial se centra principalmente en explorar las propiedades de las ecuaciones algebraicas y encontrar métodos para resolver ecuaciones.
Los contenidos estudiados en álgebra polinomial incluyen teoría de la divisibilidad, máximo común divisor, factores múltiples, etc. La propiedad de divisibilidad es muy útil para resolver ecuaciones algebraicas. Resolver ecuaciones algebraicas corresponde al problema del punto cero de los polinomios. Si los puntos cero no existen, la ecuación algebraica correspondiente no tiene solución.
Los conceptos más importantes en álgebra lineal son: determinantes y matrices. El concepto de determinante fue propuesto por primera vez por el matemático japonés Seki Takawa en su libro de 1683 "El método de resolución de problemas" y dio una descripción más detallada. La primera persona en Europa que propuso el concepto de determinantes fue Leibniz. En 1841, el matemático alemán Jacobi resumió y propuso la teoría sistemática de los determinantes.
El determinante tiene ciertas reglas de cálculo. Puede usarse como herramienta para resolver un sistema de ecuaciones lineales y expresar la solución de un sistema de ecuaciones lineales como una fórmula. número o una operación.
Dado que los determinantes tienen el mismo número de filas y columnas, la tabla dispuesta es cuadrada. A partir del estudio de los determinantes se descubrió la teoría de matrices. Lo mismo es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Una matriz es una matriz y no es necesario que el número de filas y columnas sea igual. Utilizando matrices, los coeficientes de las ecuaciones lineales se pueden componer en vectores en el espacio vectorial; según la teoría de matrices, el problema estructural de la solución de las ecuaciones lineales multivariadas se ha resuelto por completo. Además, las matrices son muy utilizadas en mecánica, física, tecnología, etc.
El álgebra abstracta también se llama álgebra moderna. Uno de sus fundadores es Galois, conocido como un genio matemático. Al estudiar las condiciones para la existencia de soluciones radicales de ecuaciones algebraicas, Galois dio una respuesta completa y exhaustiva, resolviendo un problema que ha preocupado a los matemáticos durante cientos de años, y propuso el "campo de Galois" y los "grupos de Galois" y. La "teoría de Galois" son los temas más importantes estudiados en el álgebra moderna. La teoría de grupos de Galois es reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX. La teoría de grupos de Galois también proporciona un método general para juzgar si se pueden dibujar figuras geométricas con regla y compás, lo que resuelve satisfactoriamente el problema de trisecar cualquier ángulo y duplicar un cubo. Más importante aún, la teoría de grupos ha abierto un nuevo campo de investigación, reemplazando el cálculo con la investigación estructural, cambiando la forma de pensar de un enfoque en la investigación del cálculo a una forma de pensar que utiliza conceptos estructurales y clasifica las operaciones matemáticas, lo que hace que la teoría de grupos se desarrolle rápidamente. Se convirtió en una rama completamente nueva de las matemáticas y tuvo un enorme impacto en la formación y el desarrollo de las matemáticas modernas.
En 1843, Hamilton inventó los "cuaterniones" que no cumplían la ley conmutativa de la multiplicación. Al año siguiente, Glassmann derivó varios tipos de álgebra más generales. En 1857, Cayley ideó otra álgebra matricial no conmutativa. Estos estudios abrieron la puerta al álgebra abstracta. De hecho, muchos sistemas algebraicos pueden obtenerse debilitando o eliminando algunos supuestos del álgebra ordinaria, o reemplazando algunos supuestos por otros compatibles.
El fundador y teoría del álgebra abstracta.
El objeto de investigación del álgebra abstracta son varios sistemas algebraicos abstractos y axiomáticos. Dado que el álgebra puede manejar vectores, matrices, transformaciones y otros objetos además de números reales y números complejos, y depende de sus propias leyes de cálculo, los matemáticos han sublimado y abstraído sus contenidos únicos para lograr un nivel más alto de álgebra abstracta, convirtiéndolo en el lenguaje común. para gran parte de las matemáticas contemporáneas. El álgebra abstracta en sí incluye muchas ramas, como grupos, anillos, teoría de Galois y teoría de celosías, y se cruza con otras ramas de las matemáticas para producir nuevas disciplinas matemáticas como la geometría algebraica, la teoría algebraica de números, la topología algebraica y los grupos topológicos.