Tres ensayos de muestra sobre planes de lecciones de matemáticas para la escuela secundaria
Los planes de enseñanza son los diseños y supuestos de enseñanza de los profesores. He recopilado tres ensayos de muestra sobre planes de enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria. ¡Espero que te sean útiles!
"Funciones extremas y derivadas"
1. Objetivos de enseñanza
1 Conocimientos y habilidades
〈1〉Combinado con la gráfica de funciones, comprender las condiciones necesarias y suficientes para que una función diferenciable obtenga un valor extremo en un punto determinado
〈2〉Comprende el concepto de función de valor extremo, puedes usar derivadas para encontrar los valores máximo y mínimo de una función
2 Procesos y métodos
Combinado con ejemplos, usa función gráficos para percibir intuitivamente y explorar la relación de valores extremos y derivadas de funciones.
3 Emoción y Valor
Siente la generalidad y efectividad de las derivadas al estudiar las propiedades de las funciones. A través del aprendizaje, los estudiantes pueden darse cuenta de que los valores extremos son propiedades locales de las funciones y. mejorar la capacidad de los estudiantes para combinar números y formas.
2. Enfoque: Utilizar derivadas para encontrar el valor extremo de una función
Dificultad: Condiciones necesarias y suficientes para que una función obtenga un valor extremo en un punto determinado
3. Proceso básico de enseñanza
Recordar la relación entre la monotonicidad de funciones y derivadas, y la conexión con el conocimiento existente
Hacer preguntas para estimular la curiosidad
Organizar a los estudiantes para que exploren de forma independiente, Obtener la definición del valor extremo de una función
A través de ejemplos y ejercicios, profundizar y mejorar la comprensión de la definición del valor extremo de una función
4. Proceso de enseñanza
〈1〉 Escenario de creación, presenta una nueva lección
1. Después de aprender de la lección anterior, ¿cuál es la relación entre las derivadas y la monotonicidad de las funciones?
(Pregunta formulada por alumnos de categoría C para responder, alumnos de categoría A y B para realizar suplementos)
Plan de lección para valores extremos y derivadas de funciones 2. Observar figura 1.3.8 para expresar la altura h de un atleta de clavados en plataforma alta El valor extremo y plan de lección derivada de una función que cambia con el tiempo t = la imagen de -4.9t2+6.5t+10, responde las siguientes preguntas
Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función
Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función
Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función
( 1) Cuando t=a, la altura del buzo de plataforma alta desde la superficie del agua, entonces ¿cuál es la derivada del valor extremo y el plan de lección derivada de la función en t=a?
(2) ¿Cuáles son las características de la imagen cercana al punto t=a?
(3) ¿Cuáles son los cambios de signo de la derivada cerca del punto t=a?
***Igual que la inducción: función h(t) h/(a)=0 en el punto a, cerca de t=a, cuando t
3. Para este caso. Así es, ¿esta propiedad también se aplica a otras funciones continuas?
2> Exploración y discusión
Plan de lección para valores extremos y derivadas de funciones 1. Observe la imagen de y=f(x) que se muestra en la Figura 1.3.9, y responda las siguientes preguntas:
Plan de lección para valores extremos y derivadas de funciones (1) ¿Cuál es la relación entre el valor de la función y=f(x) en el punto a.b y el valor de la función cerca? estos puntos?
(2) ¿Cuáles son los valores derivados de la función y=f(x) en el punto a.b.?
(3) Cerca del punto a.b, ¿cuáles son los signos de las derivadas de y=f(x), ¿y cuál es la relación?
2. Definición de valor extremo:
Llamamos al punto a el punto mínimo de la función y =f(x), y f(a) se llama función y=f(El valor mínimo de x);
El punto b se llama punto de valor máximo de la función y=f(x), y f(a) se denomina valor máximo de la función y=f(x).
El punto de valor máximo y el punto de valor mínimo se denominan puntos extremos, y el valor máximo y el valor mínimo se denominan valores extremos.
3. A través de la exploración anterior, puede resumir ¿Existen condiciones necesarias y suficientes para que una función derivable obtenga un valor extremo en un determinado punto x0?
Condiciones necesarias y suficientes: f(x0)=0 y los signos de los valores derivados cerca de la izquierda y la derecha del punto x0 deben ser opuestos.
4. Guíe a los estudiantes observar la Figura 1.3.11 y responder las siguientes preguntas:
(1) Encuentre los puntos extremos en la gráfica y explique qué puntos son puntos de valor máximo y cuáles puntos son puntos de valor mínimo.
(2) ¿Es el valor máximo necesariamente mayor que el valor mínimo?
5. Ejercicios en clase:
Como se muestra en la figura, la función y=f(x) es una función. Intenta encontrar el punto extremo de la función y=. f(x) y señalarlo. ¿Cuáles son los puntos de valor máximo y cuáles son los puntos de valor mínimo si la imagen de la función se cambia a la imagen de la función derivada y = el valor extremo y el plan de lección derivada de la función? /p>
El valor extremo y el plan de lección derivada de la función 3>Explicación de ejemplos
Ejemplo 4: Encontrar el valor extremo de una función y el valor extremo de un plan de lección derivada
Análisis del profesor: ①Encuentre f/(x) y resuelva para f/(x) =0, encuentre el polo de la función ② Determine el signo de f/(x) cerca del polo x0 según la monotonicidad de la función; , determinando así qué punto es el punto de valor máximo y qué punto es el punto de valor mínimo, encontrando así el valor extremo de la función.
Los estudiantes lo hacen a mano, guías del profesor
Solución: ∵Valor extremo y plan de lección derivada de la función∴Valor extremo y plan de lección derivada de la función=x2-4=(x-2)( x+2) Sea el valor extremo y plan de lección derivada de la función = 0, y la solución es x=2, o x=-2.
Plan de lección sobre valores extremos y derivadas de la función
Plan de lección sobre valores extremos y derivadas
Lo siguiente se analiza en dos situaciones:
(1) Cuando el valor extremo y el plan de lección derivada de una función>0, es decir, x>2, o x<-2 cuando;
(2) Cuando el valor extremo y la derivada de la función <0, es decir -2 Cuando x cambia, el valor extremo y la derivada de la función Lección plan, el cambio de f(x) es el siguiente: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) Plan de lección sobre valores extremos y derivadas de funciones + 0 _ 0 + f(x) Monótono creciente Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función monótonamente decreciente Plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función Monótonamente creciente Plan de lección para valores extremos y derivadas de funciones Por lo tanto, cuando x=-2, f(. x) tiene un valor máximo, y el valor máximo es f(-2)= el valor extremo de la función Plan de lección sobre valores y derivadas cuando x=2, f(x) tiene un valor extremo
La imagen del plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función es como sigue:
Resumen del plan de lección sobre el valor extremo y derivada de una función: El método para encontrar el valor extremo de la función y=f(x) es:
Lección Plan para valores extremos y derivadas de funciones 1 Plan de lección para encontrar valores extremos y derivadas de funciones, Plan de lección para resolver ecuaciones Planes de lección para valores extremos y derivadas de funciones = 0, cuando Planes de lección para extremos. Valores y derivadas de funciones = 0:
( 1) Si el valor extremo y el plan de lección derivada de la función de la izquierda cerca de x0 es >0, y el valor extremo y el plan de lección derivada de la La función de la derecha es <0, entonces f(x0) es el valor máximo.
(2) Si El valor extremo y el plan de lección derivada de la función de la izquierda cerca de x0 es <0, y la El valor extremo y la derivada de la función de la derecha es >0, entonces f(x0) es el valor mínimo
Cuatro>Ejercicios de clase
1. Encuentra el valor extremo de función f(x)=3x-x3
2. Pensamiento: Se sabe que la función f(x)=ax3+bx2-2x está en x=-2, x= Obtenga el valor extremo en 1 ,
Encuentre la fórmula analítica y el intervalo monótono de la función f(x).
Los alumnos de la categoría C realizarán la pregunta 1, y los alumnos de las categorías A y B realizarán las preguntas 1 y 2.
Cinco>Preguntas para pensar después de clase
1. Si la función f(x)=x3-3bx+3b tiene un valor mínimo en (0, 1), encuentra el número real b alcance.
2. Se sabe que f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 tiene un valor máximo y un valor mínimo, encuentre el rango del número real a.
Seis>Resumen del aula
1. Definición del valor extremo de la función
2. Pasos para resolver el valor extremo de la función
3 Un punto es la condición necesaria y suficiente para el punto extremo de la función.
Siete>Tarea P32 5 ① ④
Reflexión didáctica
El contenido didáctico de esta sección es el valor extremo de la derivada, con la monotonicidad de la derivada En la lección anterior Para allanar el camino, utilizamos la intuición de los gráficos de funciones para explorar y resumir la definición del valor extremo de la derivada, y usamos la definición para encontrar el valor extremo de la función. El principal problema en la retroalimentación de la enseñanza. Es que hay problemas con el formato de escritura. Para unificar los requisitos, se recomienda expresarlo en forma de lista. Al principio, ninguno de los estudiantes está dispuesto a aceptar este formato, pero con la visualización de. Con varios ejemplos y ejercicios, los estudiantes se dan cuenta de la simplicidad del método de la lista. Al mismo tiempo, para juzgar rápidamente el signo de la derivada, les pido a los estudiantes que factoricen la derivada tanto como sea posible. La lección es las condiciones necesarias y suficientes para que una función obtenga un valor extremo en un punto determinado. Para ilustrar este punto, es necesario dar algunos ejemplos más. Durante el proceso de solución, los estudiantes también expusieron la precisión comparativa de la derivación. de funciones complejas. Abajo, y el proceso de encontrar el valor extremo de una función aún no está estandarizado. Parece que estos aspectos necesitan continuar fortaleciéndose en el entrenamiento de valores extremos y derivadas de funciones. Discusión y evaluación
Contenido general de la enseñanza El diseño es razonable, se resaltan los puntos clave y se analizan los puntos difíciles. Encarna plenamente el estado del aula de doble materia, dirigida por el maestro y centrada en el estudiante. Moviliza plenamente el entusiasmo de los estudiantes y las ideas de orientación claras y razonables de los profesores, de modo que se pueda cultivar y mejorar el pensamiento matemático de los estudiantes y la capacidad de enseñanza del contenido. Es de dificultad moderada, consistente con las condiciones académicas y presta atención a las diferencias individuales. de estudiantes, para que estudiantes de diferentes niveles puedan obtener diferentes resultados.
"El significado geométrico de las derivadas"
Objetivos de enseñanza
Objetivos de conocimientos y habilidades:
La tarea central de esta sección es estudiar los derivados Significado geométrico y su aplicación, la formación de conceptos se divide en tres niveles:
(1) Resuelva el problema revisando el conocimiento antiguo "dos pasos para derivar derivados" y "la relación entre los tasa de cambio promedio y la pendiente de la secante" Después de comprender el significado geométrico de la tasa de cambio promedio, explorar claramente el significado geométrico de la derivada puede encontrar formas de resolver el problema basándose en la formación del concepto de derivadas.
(2) De la relación cambiante entre secantes y tangentes en un círculo, se extiende a la definición intuitiva de tangentes en curvas generales utilizando el método de aproximación secante.
(3) Basado en la relación cambiante entre secantes y tangentes, combine números y formas para explorar el significado geométrico de las derivadas de funciones. El significado geométrico de las derivadas en el plan de lección Significado geométrico de las derivadas permite a los estudiantes comprender. Al significado geométrico del plan de lección derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica del significado geométrico de la derivada de la función plan de lección al significado geométrico del plan de lección derivada. Es decir:
Plan de lección sobre la importancia geométrica de las derivadas = Pendiente k de la recta tangente de la curva en Plan de lección sobre la importancia geométrica de las derivadas
Sobre esta base, los estudiantes pueden aprenda a utilizar la geometría de las derivadas a través de ejemplos y ejercicios. El significado explica problemas de la vida real y profundiza la comprensión de la connotación de las derivadas. Durante el proceso de aprendizaje, puede experimentar el método de pensamiento de aproximación y comprender el método de pensamiento matemático de "sustituir la música por franqueza".
Objetivos del proceso y del método:
(1) Los estudiantes desarrollan habilidades de descubrimiento práctico y perceptual a través de la observación, la percepción y la exploración práctica.
(2) Los estudiantes comprenden la relación entre tangentes y secantes de un círculo, y luego exploran la situación de las curvas generales por analogía, mejoran su comprensión de las tangentes, sienten la idea de aproximación y se dan cuenta de que La tangencia es una propiedad local. La esencia de las matemáticas ayuda a mejorar la capacidad de pensamiento matemático.
(3) Al combinar preguntas de investigación en capas y ejercicios en capas, se espera que los estudiantes de todos los niveles puedan confiar en sus propias habilidades para hacer todo lo posible para mantenerse por delante de los maestros, resolver problemas de forma independiente, descubrir nuevos conocimientos, y aplicar nuevos conocimientos.
Emociones, actitudes, valores:
(1) Al impregnar las ideas de aproximación y sustitución directa en el proceso de indagación, los estudiantes pueden comprender la relación dialéctica entre aproximación y precisión; finito Llegar a comprender el infinito y experimentar el significado y el valor de transformar ideas en matemáticas;
(2) Proporcionarles oportunidades suficientes para participar en actividades matemáticas durante la enseñanza, tales como: actividades de investigación, que permitan a los estudiantes realizar de forma independiente explorar nuevos conocimientos, problemas de ejemplo. Luego practicar antes de hablar y hablar en puntos clave. Estimular el potencial de aprendizaje de los estudiantes durante las actividades, promover su verdadera comprensión y dominio de los conocimientos y habilidades matemáticas básicas, los métodos de pensamiento matemático, obtener una amplia experiencia en actividades matemáticas, mejorar su capacidad integral, aprender a aprender y mejorar aún más su fuerza de voluntad y confianza en sí mismos. , espíritu racional, etc. Las emociones y actitudes están bien desarrolladas.
Puntos clave y dificultades en la enseñanza
Puntos clave: comprender y dominar la nueva definición de tangente, el significado geométrico de las derivadas y su aplicación en la resolución de problemas prácticos, y experimentar las ideas de combinar números y formas y utilizar el método de sustitución directa de música.
Dificultad: Descubrir, comprender y aplicar el significado geométrico de las derivadas.
Proceso de enseñanza
1. Preguntas de repaso
1. ¿Cuál es la definición de derivada? ¿Cuáles son los tres pasos para encontrar derivados? Encuentra la derivada de la función y=x2 en x=2.
Definición: La derivada de una función en un punto es la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
Pasos para encontrar la derivada:
Paso 1: Encuentra el significado geométrico de la derivada de la tasa de cambio promedio;
Paso 2: Encuentra la derivada; de la tasa de cambio instantánea Plan de lección de significancia geométrica.
(Es decir, el plan de lección de significancia geométrica de la derivada, la constante cierta a la que se aproxima la tasa de cambio promedio es la derivada en ese punto)
2. Observa el plan de lección del significado geométrico de la derivada de una función. Gráfica, Significado geométrico de la derivada de la tasa de cambio promedio. Plan de lección ¿Qué representa la gráfica?
Estudiante: La tasa de cambio promedio representa la pendiente de la secante PQ Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
Profesor: Este es el significado geométrico de la tasa de cambio promedio. (plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas),
3. ¿Qué representa la tasa de cambio instantánea (el significado geométrico del plan de lección derivada) en la figura?
Como se muestra en la Figura 2-1, supongamos que la curva C es la gráfica de la función y=f(x), y el punto P(x0, y0) es un punto en la curva C. El punto Q (x0 + Δx, y0 + Δy) es cualquier punto de la curva C adyacente al punto P, y se dibuja la secante PQ. Cuando el punto Q se acerca infinitamente al punto P a lo largo de la curva C, la secante PQ se acerca infinitamente. hasta cierto punto la posición límite PT, llamamos a la recta PT en la posición límite la línea tangente de la curva C en el punto P.
Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
Pregunta: ¿Cómo determinar la recta tangente de la curva C en el punto P? Debido a que P está dado, basándose en el conocimiento de la ecuación punto-pendiente de una línea recta en geometría analítica plana, es suficiente encontrar la pendiente de la línea tangente. Supongamos que el ángulo de inclinación de la recta secante PQ es un plan de lección de significado geométrico de la derivada, y el ángulo de inclinación de la recta tangente PT es un plan de lección de significado geométrico de la derivada. Es fácil saber que la pendiente de la secante. La línea PQ es un plan de lección de significado geométrico de la derivada. Dado que la línea recta PT en la posición extrema de la secante PQ es una tangente, el límite de la pendiente de la secante PQ es la pendiente de la tangente PT. Plan de lección de significado geométrico de la derivada, es decir, plan de lección de significado geométrico. de la derivada.
A partir de la definición de derivadas, conocemos el plan de lección de importancia geométrica de las derivadas.
Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
De la fórmula anterior, podemos ver que: la pendiente de la recta tangente de la curva f(x) en el punto (x0 , f(x0)) es y=f(x ) en el punto x0 y su derivada f'(x0). Hoy exploraremos el significado geométrico de las derivadas.
Los estudiantes de la categoría C responden la pregunta 1, y los estudiantes de las categorías A y B responden la pregunta 2. Con base en las respuestas de los estudiantes, el profesor se concentra en la pregunta 3 y luego introduce gradualmente el significado geométrico de las derivadas.
2. Nueva lección
1. El significado geométrico de la derivada:
La derivada f'(x0) de la función y=f(x) en el punto x0 El significado geométrico de es la pendiente de la recta tangente de la curva y=f(x) en el punto (x0, f(x0)).
Es decir: plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
Ejercicios de respuesta oral:
(1) Si la derivada de la función y=f(x) en el punto conocido x0 Los siguientes casos son f'(x0)=1, f'(x0)=1, f'(x0)=-1, f'(x0)=2. Intente encontrar el ángulo de inclinación del. Línea tangente de la imagen de la función en el punto correspondiente, y explique las características de cada línea tangente.
(Hecho por estudiantes de nivel C)
(2) La gráfica de la función conocida y=f(x) (como se muestra en la Figura 2-2) son los siguientes tres situaciones: Línea recta, determine la derivada de la función en cada punto mediante observación. (A realizar por estudiantes de los niveles A y B)
Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
2. ¿Cómo utilizar las derivadas para estudiar el aumento y la disminución de funciones?
Resumen: cercano: instantáneo, aumento o disminución: tasa de cambio, es decir, la tasa de cambio instantánea de la función de estudio en ese punto, que es la derivada. El signo de la derivada corresponde al aumento o disminución de la función. Al dibujar la línea tangente en este punto, podemos determinar la pendiente positiva y negativa de la línea tangente a partir de la tendencia ascendente y descendente de la línea tangente, que es el valor positivo y negativo de la derivada. Luego podemos juzgar el aumento o. disminución de la función, y comprender que la derivada es una herramienta eficaz para estudiar el aumento o disminución de la función y la velocidad de cambio.
Al mismo tiempo, combinado con la idea de sustitución directa de curvas, el cambio de la tangente cerca de un determinado punto es lo mismo que el cambio de la curva, y el aumento o disminución de la La función también se puede juzgar. Todos reflejan que las derivadas son una herramienta eficaz para estudiar el aumento o disminución de funciones y la velocidad del cambio.
Ejemplo 1 Hay un plan de lección sobre el significado geométrico de la derivada de una función Encuentra el plan de lección sobre el significado geométrico de la derivada en ese punto y explica el aumento y la disminución de la función.
Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
La tasa de cambio instantánea de una función en cualquier punto del dominio de definición es 3, y la función aumenta monótonamente dentro del dominio de definición. (En este momento, la línea tangente en cualquier punto es la línea recta misma y la pendiente es la tasa de cambio)
3. Usa derivadas para encontrar la ecuación tangente de la curva y=f(x ) en el punto (x0, f(x0)) ．
Ejemplo 2 Encuentra la ecuación tangente de la curva y=x2 en el punto M (2, 4).
Solución: Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
∴y'|x=2=2×2=4．
∴La ecuación tangente en el punto M (2, 4) es y-4=4(x-2), es decir, 4x-y-4=0.
Del ejemplo anterior, podemos resumir los dos pasos para encontrar la ecuación tangente:
(1) Primero encuentre la derivada f'( de la función y=f(x) en el punto x0 x0)．
(2) Según la forma punto-pendiente de la ecuación de línea recta, la ecuación tangente es y-y0=f'(x0)(x-x0).
Pregunta: Si el ángulo de inclinación de la recta tangente PT en el punto (x0, f(x0)) es el significado geométrico del plan de lección derivada, encuentre la ecuación tangente. (Debido a que la recta tangente es paralela al eje y y la derivada no existe, el método anterior no se puede utilizar para encontrar la ecuación tangente. Según la definición de recta tangente, el significado geométrico de la derivada de la ecuación tangente se puede obtener directamente.)
(Primero, deje que los estudiantes de la categoría C respondan, sumen A y B. )
Ejemplo 3 Dado el plan de lección de significado geométrico de la derivada de un punto, encuentre: (1) la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto P
(2) La ecuación de la recta tangente que pasa por el punto P.
Solución: (1) Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas,
Plan de lección sobre el significado geométrico de las derivadas
y'|x=2= 22=4. ∴ La pendiente de la recta tangente en el punto P es igual a 4.
(2) La ecuación tangente en el punto P es el significado geométrico de la derivada, es decir, 12x-3y-16=0.
Ejercicio: Encuentra la ecuación tangente de la parábola y=x2+2 en el punto M (2, 6).
(Respuesta: y'=2x, y'|x=2=4 y la ecuación tangente es 4x-y-2=0).
Los alumnos de la categoría B hacen las preguntas y los alumnos de la categoría A corrigen sus errores.
3. Resumen
1. El significado geométrico de las derivadas. (Respuesta de los alumnos del grupo C)
2. Pasos para usar derivadas para encontrar la ecuación tangente de la curva y=f(x) en el punto (x0, f(x0)).
(Respuesta de los alumnos del Grupo B)
4. Asignar tareas
1. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1) en el plan de lección sobre el significado geométrico de la derivada de una parábola.
2. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la parábola y=4x-x2 en el punto A (4, 0) y el punto B (2, 4), y la ecuación de la recta tangente.
3. Encuentra el ángulo de inclinación de la recta tangente de la curva y=2x-x3 en el punto (-1, -1)
*4. Dado que la parábola y=x2-4 y la recta y=x+2, encuentre: (1) las coordenadas de la intersección de la recta y la parábola (2) la ecuación tangente de la parábola en la intersección;
(Los estudiantes del grupo C completaron 1, 2 preguntas; los estudiantes del grupo B completaron las preguntas 1, 2 y 3; los estudiantes del grupo A completaron las preguntas 2, 3 y 4)
Reflexión docente:
El contenido de esta sección es para aprender. Basado en el conocimiento del "problema de tasa de cambio, concepto de derivada" y otros conocimientos, estudio el significado geométrico de las derivadas desde el nuevo libro de texto. No diseña límites, trato de utilizar una forma intuitiva para que los estudiantes sientan todo el proceso de aproximación por sí mismos a través de dibujos prácticos, lo que les permite tener una comprensión más profunda del significado geométrico de las derivadas y la idea de "sustituir". líneas directas para la música".
Esta lección se centra principalmente en los dos enfoques de enseñanza de "usar imágenes de funciones para comprender intuitivamente el significado geométrico de las derivadas" y "usar el significado geométrico de las derivadas para explicar problemas prácticos". Primero, recordar el significado real y el significado numérico de las derivadas, desde los números hasta las formas, lo que naturalmente conduce al estudio del significado geométrico de las derivadas desde la perspectiva de los gráficos y luego, por analogía con la idea de investigación de la "tasa promedio de"; cambio - tasa de cambio instantánea", la idea de aproximación se utiliza para definir La línea tangente en un determinado punto de la curva guiará a los estudiantes a pensar desde la perspectiva de combinar números y formas para obtener el significado geométrico de la derivada. - "La derivada es la pendiente de la recta tangente en un determinado punto de la curva".
Después de completar la primera etapa de esta lección, el profesor señaló que usando el significado geométrico de las derivadas, al estudiar problemas prácticos, la curva cerca de un cierto punto se puede aproximar mediante una línea tangente que pasa por el punto. Es decir, "sustituir música por líneas directas", logrando así el propósito de "describir objetos complejos con objetos simples", y a través del estudio de dos ejemplos, los estudiantes pueden experimentar plenamente la relación entre derivadas y pendientes tangentes desde diferentes ángulos, y sienta la amplitud de la aplicación de derivados. Esta clase se centra en los estudiantes como el cuerpo principal. Cada conocimiento y cada descubrimiento siempre es administrado por los propios estudiantes. Se les da suficiente tiempo y espacio para pensar en clase, de modo que puedan organizarse y organizarse después de operaciones prácticas, cálculos y. otras actividades. Durante la discusión, el profesor solo te guiará en los puntos clave. A juzgar por las tareas de los estudiantes, el efecto es relativamente bueno.
"Representación de coordenadas de vectores planos"
1. Análisis de situaciones de aprendizaje
Esta lección se basa en los conocimientos que los estudiantes ya han aprendido y también es la consolidación. y el desarrollo del conocimiento aprendido antes, pero a juzgar por la preparación del conocimiento de los estudiantes, los estudiantes tienen una buena comprensión del conocimiento básico relevante, por lo tanto, durante la revisión, se les debe hacer preguntas sobre el conocimiento relevante a los estudiantes de manera oportuna, y luego realice la revisión de esta lección. Las dificultades que encontrarán los estudiantes en esta lección incluyen: la representación de ejes numéricos y coordenadas; la representación de coordenadas de vectores planos y las operaciones de coordenadas de vectores planos;
2. Requisitos del programa de exámenes
1. Ser capaz de utilizar coordenadas para representar la suma, resta y multiplicación de vectores planos.
2. Entender el plano. representado por coordenadas Las condiciones para la línea vectorial ***.
3. Dominar la expresión de coordenadas del producto cuantitativo y ser capaz de realizar la operación del producto cuantitativo vectorial plano.
4. Ser capaz de expresar dos vectores con coordenadas angulares, y comprender las condiciones de verticalidad de vectores planos representados por coordenadas.
3. Proceso de enseñanza
(1) Conocimiento ordenar:
1. Coordenadas vectoriales Cómo encontrar
(1) Si el punto inicial del vector es el origen de las coordenadas, la coordenada del punto final es la coordenada del vector.
(2) Supongamos A(x1, y1), B(x2, y2), entonces
=_______________
|=_______________
(2) Operaciones de coordenadas de vectores planos
1. Suma, resta y multiplicación de vectores
Supongamos = (x1, y1), = (x2, y2), entonces
+ = - = λ = .
2. Representación de coordenadas paralelas vectoriales
Supongamos = (x1, y1), = (x2, y2), entonces ∥ ?______________
(Tres). Puntos de prueba básicos·Ejercicios de ejercicio
Punto de prueba 1. Operación coordinada de vectores planos
Ejemplo 1. Dado A(-2,4), B(3,-1), C (-3,-4) Supongamos que (1) encuentra 3 + -3;
(2) Encuentra los números reales m,n que satisfacen =m +n;
. Práctica: ( 2015 Jiangsu, 6) Vector conocido = (2,1), = (1,-2), si m +n = (9,-8)
(m,n∈R) , entonces el valor de m-n es.
Punto de prueba 2 Representación de coordenadas de la línea *** del vector plano
Ejemplo 2: Dados tres vectores en el plano = (3, 2), = (- 1,2), =(4,1)
Si ( +k )∥(2 - ), encuentra el valor del número real k;
Práctica: ( 2015, Sichuan, 4 )Vector conocido =(1,2), =(1,0), =(3,4) Si λ es un número real, (+λ)∥, entonces λ= ( )
Pensamiento: ¿Cuáles son las representaciones de líneas vectoriales ***? ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para dos líneas vectoriales ***?
Resumen del método:
1 . Vector *** líneas Dos representaciones de
Sea a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b? x1y2-x2y1= 0. En cuanto a qué forma utilizar, debe depender de las condiciones específicas de la pregunta. Generalmente, implica la aplicación de las coordenadas ②.
2. El papel de las condiciones necesarias y suficientes. de la recta *** de dos vectores
Determinar si dos vectores son lineales (paralelos); además, utilizando las condiciones necesarias y suficientes para que dos vectores sean lineales, se pueden enumerar ecuaciones (conjuntos) y; se pueden encontrar los valores de las incógnitas.
Punto de prueba 3 Operación de coordenadas del producto de cantidades vectoriales planas
Ejemplo 3 "Se sabe que la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, y el punto E es el punto en movimiento en el borde AB,
Entonces el valor es El valor es.
Consejos: Al resolver el problema de la operación del producto de cantidad vectorial que involucra figuras geométricas, usted Puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares y utilizar la representación de coordenadas del producto de cantidades vectoriales para operar, lo que puede hacer que la operación del producto de cantidades se vuelva simple.
Práctica: (2014, Anhui, 13) Supongamos = (1, 2), =(1,1), = +k Si ⊥, entonces el valor del número real k es igual a ( )
Pensamiento.
Pruebe las condiciones necesarias y suficientes para dos vectores distintos de cero ⊥: · =0 , es decir, si a=(x1,y1),b=(x2,y2), entonces a·b=x1x2+y1y2.
(2) Al resolver problemas de cálculo de productos vectoriales que involucran figuras geométricas, se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares para operar utilizando la representación de coordenadas del producto cuantitativo de vectores, lo que puede simplificar el cálculo del producto cuantitativo.
(3) Condiciones necesarias y suficientes para dos vectores distintos de cero a⊥b: a ·b=0?x1x2+y1y2=0.
Punto de prueba 4: Representación de coordenadas del plano módulo vectorial
Ejemplo 4: (2015 Hunan, Teoría 8) Puntos conocidos A y B, C se mueve en el círculo x2+y2=1, y AB⊥BC, si la coordenada del punto P es (2 ,0), entonces el valor es ( )
A.6 B.7 C. 8 D.9
Práctica: (2016, Shanghai, 12)
En el sistema de coordenadas plano rectangular, se sabe que A (1, 0), B (0, -1), P es un punto en movimiento en la curva, entonces, ¿cuál es el rango de valores?
Experiencia de resolución de problemas:
Método para encontrar el módulo de un vector:
(1) Método de fórmula, usando |a|= y (a± b)2 =|a|2±2a·b+|b|2, convierte la operación del módulo vectorial en operación cantidad producto;
(2) Método geométrico, usando la regla del paralelogramo o triángulo de suma de vectores y resta Usa las reglas para crear un vector, y luego usa el teorema del coseno y otros métodos para resolverlo.
5. Tarea después de clase (ejercicios 1 y 2 después de clase)