¿Con mucho gusto puede traducirse como muy honrado?

Sí.

Cuando la otra parte expresa una petición de algo suyo, se suele utilizar con placer, que significa "Me siento feliz y honrado de servirle".

Placer significa placer, alegría y satisfacción. Es un sustantivo y puede ir seguido de un pronombre posesivo adjetivo o de una preposición. Generalmente se expresa como "mi placer" y "con placer".

Cuando la otra parte expresa una solicitud de algo suyo, a menudo se usa con placer, que significa "Me siento feliz y honrado de servirle". Cuando la otra parte expresa gratitud, "es un placer". y "Es mío" se usan comúnmente. "placer". significa "Es un placer, de nada". Mi placer generalmente se usa después del incidente, mientras que con placer generalmente se usa antes del incidente.