Tres crisis en la historia de las matemáticas y cómo resolverlas

1. Hippasu (Hippasu, nativo de Meteorpoden, siglo V a.C.) descubrió que la hipotenusa (es decir, raíz 2) de un triángulo rectángulo isósceles con cintura 1 nunca puede expresarse mediante la relación más simple de. números enteros (razones inconmensurables), se descubrieron los primeros números irracionales y derribaron la famosa teoría de Pitágoras. Según la leyenda, los pitagóricos estaban en el mar en ese momento, pero debido a este descubrimiento arrojaron a Hebers al mar.

Solución:

1. Burnett explicó la "dicotomía" de Zenón: es decir, es imposible pasar por infinitos puntos en un tiempo limitado. Anteriormente tenía que ser la mitad de la distancia dada. viajado, para hacer eso había que viajar la mitad de esa mitad, y así sucesivamente, hasta el infinito. Aristóteles criticó a Zenón por cometer un error aquí: "Sostiene que es imposible que una cosa pase a través de una cosa infinita en un tiempo finito, o que entre en contacto con una cosa infinita por separado, siempre que se diga que la longitud y el tiempo son iguales". " "Infinito" tiene dos significados.

En general, todas las cosas continuas que se dice que son "infinitas" tienen dos significados: o infinitas por división, o infinitas por extensión. Por lo tanto, por un lado, las cosas no pueden entrar en contacto con cosas cuantitativamente infinitas en un tiempo finito; por otra parte, pueden entrar en contacto con cosas que son infinitas cuando se dividen, porque el tiempo mismo también es infinito cuando se divide. ¿Se realiza en un tiempo infinito en lugar de en un tiempo limitado, y el contacto con infinitas cosas se realiza en un número infinito en lugar de en un número finito de rangos?

2. como la dicotomía anterior La conclusión de este argumento es: un corredor lento no puede ser alcanzado. Por lo tanto, la solución a este argumento debe ser el mismo método, pensando que en Es incorrecto pensar que algo que está adelante en movimiento no puede ser alcanzado. superado, porque no puede ser superado mientras está por delante. Sin embargo, si Zenón le permite cruzar la distancia limitada especificada, entonces también puede alcanzarlo.

3. porque el tiempo no está compuesto del "ahora" indivisible, del mismo modo que cualquier otra cantidad no está compuesta de partes indivisibles. Aristóteles cree que esta conclusión se debe a que se trata el tiempo como si estuviera compuesto de "ahora". afirmado, esta conclusión no aparecerá.

4. Aristóteles cree que el error aquí es que considera el tiempo que tarda un objeto en movimiento en pasar a otro objeto en movimiento igual al tiempo que tarda en pasar por un objeto en movimiento. objeto estacionario del mismo tamaño a la misma velocidad. De hecho, los dos no son iguales

2 La racionalidad del cálculo ha sido seriamente cuestionada y casi toda la teoría del cálculo

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Resuelto: a través de Cauchy (Finalizador de Cálculo) Se definieron cantidades infinitesimales usando el método límite, y se desarrolló y mejoró la teoría del cálculo, ¡haciendo así la construcción matemática más brillante y hermosa! La paradoja de Russell: ¡S consta de todo! Si no está compuesto por una colección de sus propios elementos, ¿S incluye S? En términos sencillos, Xiao Ming dijo un día: “¡Estoy mintiendo! "Pregúntele a Xiao Ming si está mintiendo o diciendo la verdad. Lo aterrador de la paradoja de Russell es que no implica un conocimiento avanzado de conjuntos como la paradoja del máximo ordinal o la paradoja de la máxima cardinalidad. Es muy simple, pero puede destruir fácilmente el conjunto. ¡teoría!

Solución

1. Eliminar las paradojas. Después de la crisis, los matemáticos han ideado sus propias soluciones. Para eliminar las paradojas, necesitamos establecer nuevos principios. “Estos principios deben ser lo suficientemente estrechos para garantizar que se eliminen todas las contradicciones; por otro lado, deben ser lo suficientemente amplios para preservar todo el contenido valioso de la teoría de conjuntos de Cantor. ”

En 1908, Zermelo propuso el primer sistema de teoría de conjuntos axiomáticos basado en su propio principio, posteriormente fue mejorado por otros matemáticos y se llamó sistema ZF. Este sistema de conjuntos axiomáticos es en gran medida. , compensa las deficiencias de la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Además del sistema ZF, existen muchos sistemas axiomáticos de la teoría de conjuntos, como el sistema NBG propuesto por Neumann et al. El sistema de conjuntos axiomático eliminó con éxito las paradojas que aparecían en la teoría de conjuntos, resolviendo así la tercera crisis matemática de manera relativamente satisfactoria. Pero, por otro lado, la paradoja de Russell tiene un impacto más profundo en las matemáticas.

Trajo los problemas básicos de las matemáticas a los matemáticos por primera vez en una necesidad más urgente y condujo a la investigación de los matemáticos sobre los fundamentos de las matemáticas.

El desarrollo posterior en esta área ha afectado profundamente a todas las matemáticas. Por ejemplo, la disputa sobre los fundamentos de las matemáticas ha formado tres escuelas matemáticas famosas en la historia de las matemáticas modernas, y el trabajo de cada escuela ha promovido el gran desarrollo de las matemáticas, etc.

Información ampliada:

En el sistema de clases de axiomas, algunos conceptos básicos no están definidos. Solo podemos explicarlos desde su significado objetivo, pero dicha explicación solo ayuda a comprenderlos. conceptos.

Cualquier objeto estudiado en matemáticas se llama clase. El concepto de clase no tiene restricciones. Puede haber una relación llamada pertenencia entre clases. La clase A pertenece a la clase B. En este momento, también se dice que la clase A es un elemento de la clase B (denominado elemento). Podemos entender una clase como un todo compuesto por varios elementos. Si una clase es un elemento de otra clase es completamente seguro. Ésta es la certeza de los elementos de clase. Si la clase A no es un elemento de la clase B, entonces se dice que A no pertenece a B.

Otro concepto no definido es que las clases siempre tienen ciertas propiedades. A menudo usamos P(x) para significar que la clase x tiene la propiedad P. Podemos entender las propiedades como "una declaración sobre una clase". También creemos que los conceptos básicos y los conocimientos básicos de lógica son la base de la teoría de clases.

Las tres principales crisis matemáticas de la Enciclopedia Baidu

La primera crisis matemática de la Enciclopedia Baidu

La segunda crisis matemática de la Enciclopedia Baidu

La tercera crisis matemática de la Enciclopedia Baidu