La probabilidad de tres puertas

El problema de las tres puertas (problema de Monty Hall), también conocido como problema de Monty Hall, problema de Montejo o paradoja de Monty Hall, se deriva aproximadamente del programa de televisión estadounidense Let's Make a Deal. El nombre de la pregunta proviene del presentador del programa, Monty Hall. Los concursantes verán tres puertas cerradas. Hay un auto detrás de una de ellas. Seleccione la puerta con el auto detrás para ganar el auto. Hay una cabra escondida detrás de cada una de las otras dos puertas. Cuando el concursante selecciona una puerta pero no logra abrirla, el anfitrión (que sabe la respuesta) abre una de las dos puertas restantes, revelando una de las cabras. Luego, el presentador le preguntará al concursante si quiere cambiar a otra puerta que aún esté cerrada. La pregunta es: ¿Cambiar a otra puerta aumentaría las posibilidades del concursante de ganar el auto?

Este es un tema muy interesante. Para las personas que no tienen conocimientos de probabilidad condicional, el primer pensamiento de muchas personas es mitad y mitad. Aunque al principio es 1/3, no quedan solo dos. ¿Hay una puerta? Es naturalmente 1/2.

De hecho, esta pregunta es fácil de explicar sin utilizar el conocimiento de probabilidad. Sabemos que la probabilidad de que el concursante gane el premio al principio es 1/3, luego la probabilidad de no ganar es 2/3. . ¿Qué pasa después? La cosa es que el anfitrión abrió una puerta y le preguntó si debía cambiarse o no. Si pensamos en el problema desde otro ángulo: si el concursante no cambia, significa que insiste en que su primera elección fue correcta, entonces su probabilidad de ganar sigue siendo 1/3 si el concursante cambia, significa que el concursante; admite que su elección anterior Si la elección fue incorrecta, entonces la probabilidad de equivocarse antes (no ganar) es 2/3, y las puertas restantes sin autos se han eliminado, por lo que la probabilidad de ganar después del cambio es 2/3. De esta manera, puedes obtener la respuesta y cambiarla, y después de cambiarla, la probabilidad se puede aumentar a 2/3 en lugar de 1/2 en la primera imagen.

Entonces, ¿cómo utilizamos el conocimiento de la probabilidad para pensar en este problema?

Los problemas prácticos con los que generalmente entramos en contacto son probabilidades previas. Muchas cosas son eventos relativamente independientes, es decir, la ocurrencia de una cosa no afectará la probabilidad de otra cosa, pero este problema de tres puertas; , Pero es una cuestión de probabilidad condicional. Es decir, los eventos que ocurren más tarde tendrán un impacto en los eventos anteriores, afectando así la probabilidad de eventos anteriores.

Probabilidad condicional: La probabilidad de que el evento A ocurra bajo la condición de que haya ocurrido otro evento B. La probabilidad condicional se expresa como P (A | B), que se lee como "la probabilidad de A bajo la condición de B". Si solo hay dos eventos A y B, entonces,

Asumimos que uno de los eventos ganadores se determina como evento A, B, C, entonces puedo saber que P(A)=P(B )=P( C)=1/3;

Supongamos que el anfitrión abre la puerta y lo configura como evento a, b, c;

La pregunta se puede cambiar a esta El concursante elige la puerta A, y el anfitrión La persona abre c y pregunta cuál es la probabilidad de que el concursante continúe eligiendo A y gane el premio sin cambiar, y cuál es la probabilidad de que el concursante continúe eligiendo B y gane. el premio si cambia? Expresados ​​en fórmulas, ¿cuáles son P(A|c) y P(B|c) en este momento?

Según la fórmula de probabilidad condicional tenemos

P(A|c)=P(Ac)/P(c)=P(A)*P(c|A) /P (c);

P(B|c)=P(Bc)/P(c)=P(B)*P(c|B)/P(c).

P(A)=P(B)=P(C)=1/3,

Cuando el concursante elige la puerta A y A gana el premio, el anfitrión abre la probabilidad de c es 1/2, entonces P(c|A)=1/2;

Cuando el concursante elige la puerta A y la puerta B gana, la probabilidad de que el anfitrión abra c es 1, entonces P( c|B )=1;

Cuando el concursante elige la puerta A y C gana el premio, la probabilidad de que el anfitrión abra c es 0, por lo que P(c|C)=0.

Entonces P(c)= P(A)*P(c|A)+ P(B)*P(c|B)+P(C)* P(c|C)=1 /3*1/2+1/3*1+1/3*0=1/2.

Entonces

P(A|c)=P(A)*P(c|A)/P(c)=(1/3*1/2)/( 1/2)=1/3,

P(B|c)=P(B)*P(c|B)/P(c)=(1/3*1)/(1 /2)=2/3.

Es decir, cuando el anfitrión abre la puerta c, para A, su propia probabilidad no ha cambiado, sigue siendo 1/3 de la original. Lo que ha cambiado es la probabilidad del evento B, es decir. es decir, P (B|c) es 2/3. Por lo tanto, el concursante debe cambiar de puerta en este momento, porque la probabilidad de la puerta restante pasa a ser 2/3, duplicando así la probabilidad de ganar.

El conocimiento en realidad es así. A menudo es diferente de nuestra intuición y la brecha no es pequeña. Por lo tanto, necesitamos ejercitar constantemente nuestras habilidades de pensamiento y matemáticas para poder mantener una mente racional y científica en algunas decisiones y no perdernos el gran premio.