Pregunta 19 del examen de ingreso a la Universidad de Jiangsu de 2012, segunda pregunta, prueba geométrica

En el prisma triangular ABC-A1B1C1, se sabe que AB=AC=AA1=√5, BC=4, y la proyección de A1 sobre la base ABC es el punto medio O del segmento BC .

(1) Demuestre que hay un punto E en el borde lateral AA1, tal que OE⊥ plano BB1C1C, y encuentre la longitud de AE ​​

(2) Encuentre el ángulo; entre el plano A1B1C y el plano BB1C1C El coseno del ángulo.

(1) Demuestre: ∵En el prisma triangular ABC-A1B1C1, se sabe que AB=AC=AA1=√5, BC=4, y la proyección de A1 sobre la base ABC es el punto medio O del segmento BC

∴AA1//Superficie BB1C1C==>Superficie A1AO⊥Superficie ABC==>BC⊥Superficie A1AO==>Superficie A1AO⊥Superficie BB1C1C

Cruz O para hacer la intersección OE⊥AA1 AA1 está conectada a OA en el lado E

∴OE⊥ BB1C1C

, OA=√(AB^2-OB^2)=1

A1O=√( AA1^2-OA^2)=2

OA^2=AE*AA1==>AE=√5/5

(2) Análisis: Encuentre el plano A1B1C y el plano El coseno del ángulo entre BB1C1C.

C1F⊥B1C cruza a B1C en F, y FG⊥B1C cruza a A1C con G, y conecta a GC1

∴∠GFC1 es el ángulo entre el plano A1B1C y el plano BB1C1C Ángulo plano

∵BB1C1C es un rectángulo, ∴∠CC1B1=π/2

En ⊿CB1C1, B1C=√(B1C1^2+CC1^2)=√21

B1C1^2=B1F*B1C==>4^2=B1F*√21==>B1F=16/√21

FC1=√(B1C1^2-FB1^2 )=?4 √5/√21

De (1)A1O=2, OC=2, ∴A1C=2√2

En ⊿A1CB1

Cos∠ A1CB1=(A1C^2+B1C^2-A1B1^2)/(2A1C*B1C)=(8+21-5)/(2*2√42)=6/√42

CF =√21-16/√21=5/√21

tan∠A1CB1=GF/CF=√6/6==>GF=5√14/42

Cos∠A1CB1=CF/CG=6/√42==>CG=5/√21*√42/6=5√2/6

En ⊿A1CC1

Cos ∠A1CC1=(A1C^2+C1C^2-A1C1^2)/(2A1C*C1C)=(8+5-5)/(2*2√10)=2/√10

CG=5√2/6

GC1=√(GC^2+CC1^2-2*GC*CC1*cos∠A1CC1)=√(50/36+5 -2*5√2 /6*√5*2/√10)

=√(55/18)?

En ⊿GFC1

Cos∠GFC1=(GF^ 2+FC1^2-GC1^2)/(2GF*C1F)=(25/126+80/21-55/18)/(2*5√14/42*√80/ √21)

=√30/10