Demostración del teorema del valor medio diferencial
Prueba:
1)
Constructor: y=arctanx+arctan(1/x)
El dominio de definición es: x >0
En cualquier intervalo de dominio (b,a) a>b>0, obviamente esta función satisface el teorema del valor medio de Lagrange, por lo tanto: ξ∈(b,a), entonces:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ ?) + 1/[ 1+(1/ξ)?] * (-1/ξ?)
=0
Es decir:
f( a)=f( b)
La fórmula anterior muestra que la función tiene f(a)=f(b) en cualquier dominio, por lo tanto:
La función f(x) es una función constante
Sea a=1, entonces:
f(1)=π/2
∴arctanx+arctan(1/x) =π/ 2
2)
Constructor: y=arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]
Su dominio: x≥1
Obviamente, en cualquier intervalo del dominio de definición, esta función satisface el teorema del valor medio de Lagrange, por lo tanto:
Para cualquier intervalo (b, a) en el dominio de definición,?ξ∈(b ,a), entonces:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1 /(1+ξ?) -(1/2)/√{1-[2ξ/(1+ξ?)]?} · {[2(1+ξ?)-4ξ?] /(1+ξ? )?}
=0
Es decir:
f(a)=f(b)
La fórmula anterior muestra que la función tiene f(a)=f(b) en cualquier dominio, por lo tanto:
La función f(x) es una función constante
Sea a=1, Entonces:
f(1)=π/4
∴arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]=π/4