Ensayo sobre el teorema de Pitágoras

Demostración del teorema de Pitágoras: entre los cientos de métodos de demostración, algunos son muy interesantes, algunos son muy concisos y algunos son muy famosos debido a la identidad especial del demostrador. Primero, presentaré las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia, respectivamente. 1． Método chino: dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a b), como se muestra en la figura, donde a y b son lados rectángulos y c es la hipotenusa. Estos dos cuadrados son congruentes, por lo que sus áreas son iguales. Las figuras izquierda y derecha tienen cada una cuatro triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo original. La suma de las áreas de los cuatro triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Elimina los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, y las áreas de las partes restantes de las figuras deben ser iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con a y b como lados respectivamente. La figura de la derecha deja un cuadrado de lado c. Entonces a^2 b^2=c^2. Este es el método descrito en nuestros libros de texto de geometría. Es intuitivo y sencillo y cualquiera puede entenderlo. 2. Método griego: dibuja un cuadrado directamente en los tres lados del triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen. Es fácil ver que △ABA’ ≌△AA'C. Dibuja una línea perpendicular que pase por C hacia A''B'', interseque a AB en C' y a A''B'' en C''. △ABA' y el cuadrado ACDA' tienen la misma base y altura, y el área del primero es la mitad del área del segundo △AA''C y el rectángulo AA''C''C'. la misma base y altura, y el área del primero es también la mitad del segundo. De △ABA’≌△AA’’C, sabemos que el área del cuadrado ACDA’ es igual al área del rectángulo AA’’C’’C’. De la misma forma, el área del cuadrado BB’EC es igual al área del rectángulo B’’BC’C’’. Por lo tanto, S cuadrado AA’’B’’B=S cuadrado ACDA’ S cuadrado BB’EC, es decir, a2 b2=c2. En cuanto a que el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, se puede obtener mediante el método de corte y complemento (se pide a los lectores que lo demuestren ellos mismos). Aquí sólo se utilizan relaciones de área simples y no se utilizan las fórmulas de área de triángulos y rectángulos. Esta es la prueba dada por el antiguo matemático griego Euclides en sus "Elementos de geometría". La razón por la que los dos métodos de demostración anteriores son maravillosos es que usan pocos teoremas y solo usan dos conceptos básicos de área: ⑴ Las áreas de formas congruentes son iguales ⑵ Cuando una figura se divide en varias partes, la suma de las áreas de; cada parte es igual al área de la forma original. Este es un concepto perfectamente aceptable y simple que cualquiera puede entender. Los matemáticos chinos de todas las épocas han utilizado varios métodos para demostrar el teorema de Pitágoras y también han escrito muchas ilustraciones para el teorema de Pitágoras. La primera fue la de Zhao Shuang (también conocido como Zhao Junqing) en su apéndice de "Zhou Bi Suan Jing". "Prueba en el artículo "Notas ilustradas sobre el círculo pitagórico". Se utiliza el método de corte y reparación: como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados con bermellón y el pequeño cuadrado en el medio está pintado con amarillo, que se llama Zhonghuang sólido. El cuadrado con la cuerda como. el lado se llama cuerda sólida, y luego se parchea la colocación, "haciendo que lo entrante y lo saliente se complementen, cada uno según su tipo", afirmó que la relación entre las tres cuerdas pitagóricas está en consonancia con el teorema de Pitágoras. Es decir, "Pitagórico se multiplica por separado, se combina para formar una cuerda sólida y se divide tomando la raíz cuadrada, es una cuerda". La prueba del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang muestra el magnífico pensamiento de prueba de los matemáticos chinos, que es relativamente simple e intuitivo. Muchos eruditos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras y han proporcionado muchos métodos de demostración. Entre ellos, la prueba más antigua documentada la proporcionó Pitágoras. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras se puso tan feliz que mató cientos de vacas para celebrarlo. Por lo tanto, Occidente también llama al Teorema de Pitágoras el "Teorema de los cien bueyes". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de saber cómo lo demostró. La siguiente es la demostración del teorema de Pitágoras realizada por Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Como se muestra en la figura, S trapecio ABCD= (a b)2 = (a2 2ab b2), ① y S trapezoide ABCD=S△AED S△EBC S△CED = ab ba c2 = (2ab c2). ② Comparando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos a2 b2=c2. Esta prueba es bastante concisa debido al uso de la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo. El 1 de abril de 1876, Garfield publicó su demostración del teorema de Pitágoras en el New England Educational Journal.

Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras. Esto se convirtió en una leyenda en la historia de las matemáticas. Después de aprender sobre triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son similares al triángulo original. Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ACB=90°. Como CD⊥BC, el pie vertical es D. Entonces △BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC. De △BCD∽△BAC, podemos obtener BC2=BD ? BA, ① De △CAD∽△BAC, podemos obtener AC2=AD ? ② Encontramos que al sumar las dos ecuaciones ① y ②, podemos obtener BC2 AC2=AB (AD BD) y AD BD=AB, entonces BC2 AC2=AB2, que es a2 b2=c2. Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares. En las numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras también se cometen algunos errores. Por ejemplo, alguien ha dado el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras: Supongamos que en △ABC, ∠C=90°, y según el teorema del coseno c2=a2 b2-2abcosC, porque ∠C=90°, entonces cosC= 0. Entonces a2b2=c2. Esta prueba parece correcta y sencilla, pero en realidad comete el error de la prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras. La gente también está interesada en el teorema de Pitágoras porque puede generalizarse. Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en sus "Elementos de geometría": "Un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa tiene un área igual a la de dos triángulos rectángulos semejantes en los dos lados derechos. La suma de las áreas". Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: "Si se dibuja un círculo con tres lados de un triángulo rectángulo como diámetro, entonces el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual a la suma de las áreas de los dos círculos con los dos lados en ángulo recto como diámetro." El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: si utilizamos los tres lados de un triángulo rectángulo como aristas correspondientes para construir poliedros semejantes, entonces el área de superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de los dos poliedros en los lados en ángulo recto. Si los tres lados de un triángulo rectángulo se utilizan como diámetros para construir esferas, el área de superficie de la esfera sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos esferas sobre los dos lados rectángulos.