¿Cuál es la fórmula de cálculo para la interpolación lineal?
La interpolación lineal es un método de cálculo numérico comúnmente utilizado para estimar valores entre puntos de datos determinados. La fórmula de cálculo es la siguiente:
Para puntos de datos conocidos (x?, y?) y (x?, y?), se requiere el valor estimado y de x en una determinada posición entre estos dos puntos. .
Primero calcule el factor de escala de x en relación con x? y x?:
t = (x - x?) / (x? - x?)
Luego use el factor de escala t para realizar cálculos de interpolación lineal en y? e y?:
y = y? (y? - y?) * t
Dónde, y representa la posición El valor estimado en x.
La interpolación lineal se basa en la interpolación en línea recta entre dos puntos de datos conocidos, suponiendo que la función cambia linealmente entre los dos puntos de datos. Este método es simple y fácil de usar y es adecuado para la estimación numérica en muchas situaciones. Sin embargo, la precisión puede verse limitada en situaciones en las que la curva cambia mucho. En este caso, se utilizan otros métodos de interpolación como la interpolación cuadrática, la interpolación spline, etc. puede ser considerado.
La derivación del método de interpolación lineal es la siguiente:
Supongamos que hay dos puntos de datos conocidos (x?, y?) y (x?, y?). requería que entre estos dos Una estimación de y en alguna posición x entre puntos.
Consideremos primero la línea recta entre dos puntos, que se puede obtener mediante la fórmula punto-pendiente:
y - y? = m(x - x?)
Donde m representa la pendiente de la recta, que se puede encontrar por la diferencia entre dos puntos conocidos:
m = (y? - y?) / (x? - x?)
Sustituyendo la ecuación de la pendiente del punto, podemos obtener:
y - y? = ((y? - y?) / (x? - x?)) * (x - x ?)
Después de ordenar, obtenemos:
y = y? ((y? - y?) / (x? - x?)) * (x - x?)
Esta es la fórmula de cálculo del método de interpolación lineal.
Esta fórmula expresa la estimación y interpolada linealmente de x en cualquier posición entre los puntos de datos conocidos (x?, y?) y (x?, y?). La derivación de la fórmula se basa en el cálculo de la pendiente del punto y la pendiente de la línea recta. Al incorporar x en la ecuación de la línea recta, se obtiene el valor de y correspondiente. La idea básica de la interpolación lineal es utilizar la relación de línea recta entre puntos de datos conocidos para simplificar el problema de estimación de curvas.
La interpolación lineal se usa ampliamente. Los siguientes son algunos escenarios de aplicación comunes.
1 Procesamiento de datos: cuando hay un conjunto de puntos de datos discretos, se puede usar la interpolación lineal para completar. los datos. Datos faltantes o datos estimados desconocidos. Los datos desconocidos se pueden estimar en una posición entre dos puntos de datos conocidos ajustando linealmente los puntos de datos conocidos.
2. Procesamiento de imágenes: en el procesamiento de imágenes, la interpolación lineal se utiliza a menudo para ampliar, reducir, rotar y otras operaciones. Al interpolar linealmente la escala de grises entre los píxeles de la imagen, puede generar una imagen con una resolución más alta o cambiar el tamaño de la imagen.
3. Cálculo numérico: en el método de interpolación lineal, dados dos puntos en una curva, el método de interpolación lineal se puede utilizar para estimar el valor de la función en otras posiciones de la curva. Esto tiene amplias aplicaciones en problemas como la integración numérica y la solución numérica de ecuaciones diferenciales.
4. Dibujo y visualización: En el dibujo y la visualización, la interpolación lineal se utiliza a menudo para suavizar curvas y superficies, haciendo que las curvas o superficies sean más continuas y suaves. Al interpolar linealmente entre puntos de datos conocidos, se puede obtener una curva o superficie continua para mejorar la visualización.
Ejemplo de fórmula de cálculo del método de interpolación lineal
Supongamos que existen los siguientes puntos de datos conocidos:
(x?, y?) = (2, 4)
(x?, y?) = (6, 10)
Ahora necesitamos realizar una interpolación lineal en la posición de x = 4, es decir, encontrar el valor de y correspondiente .
Primero, calcula el factor de escala de x con respecto a x? y x?:
t = (x - x?) / (x? - x?) = (4 - 2 ) / (6 - 2) = 2/4 = 0,5
A continuación, utilice el factor de escala t para realizar cálculos de interpolación lineal en y e y?:
y =? y? ( y? - y?) * t = 4 (10 - 4) * 0.5 = 4 6 * 0.5 = 7
Por lo tanto, en la posición x = 4, el valor estimado está dado por interpolación lineal. es y=7.
Este ejemplo muestra cómo utilizar la interpolación lineal para calcular una estimación de una ubicación entre puntos de datos conocidos. Calculando el factor de escala y aplicándolo a la diferencia entre los dos puntos de datos, podemos obtener una estimación en la ubicación deseada.