Introducción a la curva de Hilbert

En 1890, el matemático italiano Peano G inventó una curva que puede llenar un cuadrado, llamada curva de Peano. Posteriormente, Hilbert hizo esta curva, también conocida como curva de Hilbert. Peano puede estipular dos funciones continuas x=f(t) e y=g(t) para el intervalo, de modo que xey tomen todos los valores pertenecientes al cuadrado unitario.

La curva de Hilbert es una curva fractal (curva de relleno de espacio) que puede llenar un cuadrado plano. Fue propuesta por David Hilbert en 1891.

Como llena el plano, su dimensión de Hausdorff es 2. Sea 1 la longitud del lado del cuadrado que llena y la longitud de la curva de Hilbert en el paso n es 2n - 2-n.

Notación del sistema L: variables: L, R

Constante: F, +, -

Axioma: L

Regla:

L → +RF-LFL-FR+

R → ?LF+RFR+FL?

F: Adelante

-: Girar derecha 90°

+: Gire a la izquierda 90°

En términos generales, es imposible que cosas unidimensionales llenen un cuadrado bidimensional. Pero la curva de Peano sólo ofrece un contraejemplo. Esto muestra que nuestra comprensión de las dimensiones es errónea y es necesario reexaminar la definición de dimensiones. Esto es lo que considera la geometría fractal. En geometría fractal, las dimensiones pueden ser fracciones, llamadas dimensiones fractales.

Además, la curva de Hilbert es una curva continua pero no diferenciable en todas partes. Por lo tanto, si queremos estudiar curvas en el sentido tradicional, debemos agregar condiciones diferenciables para excluir casos especiales como las curvas de Peano.