¿Cuál es el papel del conjunto Borel? ¿Por qué es importante?

Mirando la definición de conjunto de borel, el álgebra sigma generada por todo el conjunto abierto de un espacio topológico es el conjunto de borel.

La estructura topológica se utiliza para caracterizar la continuidad del mapeo, y la expresión algebraica sigma es la base para medir la estructura. De esta manera, el conjunto borel establece la conexión entre la estructura topológica y la estructura de medidas. Se puede ver que esta definición es muy natural.

La definición de armonía natural a menudo aporta un valor inconmensurable y también puede ser la encarnación de la belleza matemática. Inmediatamente tenemos una conclusión importante que necesitamos: las funciones continuas son mensurables. El álgebra sigma más pequeña que hace que todas las funciones continuas sean medibles al mismo tiempo es el conjunto de borel. De esto se puede ver que el conjunto de borel no es ni grande ni pequeño, simplemente un elemento más o un elemento menos no funcionará.

Puede haber otra pregunta, ¿por qué se propone la estructura del álgebra sigma? Creo que la esencia es garantizar que todas las operaciones involucradas estén definidas al realizar operaciones relacionadas con la medición. Estas operaciones involucran operaciones de conjuntos como intersección, unión y diferencia. Para que se establezca la operación extrema, debe ser numerable. El álgebra Sigma es una familia de conjuntos que satisfacen tales propiedades.

El resumen es el siguiente:

La llamada medida es una función de conjunto no negativo con listabilidad y aditividad. Por supuesto, esta no es la única definición de medición. La medición externa también es un método, pero conduce al mismo objetivo mediante diferentes métodos.

Dado que estamos hablando de una función y su rango de valores es de 0 a infinito positivo, lo que debemos preocuparnos es su dominio. Si se admite el axioma de elección (incontable), entonces cada medida positiva (no trivial) tiene un conjunto inmensurable, por lo que su dominio de definición no debe ser todos los subconjuntos del espacio completo.