¿Qué teoremas matemáticos son intuitivamente verdaderos pero difíciles de demostrar?
Se trata de una carrera de relevos súper matemática que abarca cuatrocientos años.
Dado que el maestro anterior mencionó esta conjetura, escribiré brevemente el proceso de prueba de esta conjetura.
Si fuera un cabrón no cubriría la parte teórica.
Esta es la conjetura de Kepler: ¿Cómo se pueden empaquetar más densamente las esferas?
A finales de 1590, un navegante inglés llamado Raleigh hizo una pregunta aparentemente sencilla.
Quería idear una forma de apilar conchas para poder contar fácilmente cuántas conchas había en cada pila.
Le entregó el problema a su asistente Harry Riott, un joven brillante que quería idear el método de apilamiento más eficiente.
Para almacenar más proyectiles en un espacio limitado durante la navegación.
Harriot ha logrado grandes logros en otros campos de las ciencias naturales, pero aunque este problema parece sencillo, hace tiempo que no se producen avances.
Así que el joven escribió una carta a matemáticos, físicos y astrónomos en Praga.
Por supuesto, el destinatario no son tres personas, es Kepler. Matemáticas, física y astrónomos.
Así, la primera etapa de la carrera de relevos fue entregada al maestro nacido en Stuttgart.
Kepler escribió un panfleto llamado "El copo de nieve hexagonal" en 1611. Esta es una publicación no oficial para un amigo, en la que pregunta por qué los copos de nieve son hexagonales y por qué los panales son hexagonales.
Después de volver a hacer la pregunta, Kepler recurrió a otra planta: la granada.
Se trata de un estudio de patrones de superposición eficientes desde un plano bidimensional a un espacio tridimensional.
Cree que en el espacio limitado de las granadas, el modo de acumulación de semillas de granada debe ser el más eficiente.
Llegó a la misma conclusión que el botánico Hales más de 100 años después. Hales exprimió muchos guisantes.
Se observó que algunos guisantes se exprimieron en dodecaedros como las granadas, excepto que los frijoles se exprimieron en pasta de guisantes. Pero más tarde se demostró que la conclusión experimental era errónea. Mendel: No quieres darme guisantes. ¿Por qué apretarlos?
Bien, tomemos un descanso aquí. Kepler creía que la disposición de la naturaleza debía ser la más perfecta, por lo que creía que una bola rodeada por doce bolas era la acumulación más cercana.
Pero no lo demostró, ni dijo cómo burlarlo.
Para cada uno de nosotros, cómo cargar la pelota de manera más eficiente parece una pregunta sencilla.
Colocas la pelota en el primer piso y luego colocas la pelota en el segundo piso en el espacio del primer piso.
Este es el famoso apilamiento de pares cúbicos centrados en las caras. Pero hay otra forma de apilar que, a pesar de su atractivo nombre, resulta equivalente al apilamiento cúbico centrado en las caras. Es decir, las seis direcciones son las más densas.
Primero hablemos de cómo organizar un círculo en un plano bidimensional de manera más eficiente.
Esto parece 1+1=2.
En 1528, un artista del Renacimiento alemán escribió un libro de texto de matemáticas.
El libro dice que colocar patrones circulares en el techo sólo se puede disponer ordenadamente en cuadrados y hexágonos. Y señaló que el hexágono es el más compacto. (Kepler: Hay un agarre en el comedero.
Bueno, el testigo pasó a un italiano que acababa de perder toda su fortuna.
Su nombre era Lagrange. Diez Los más grandes matemático del siglo VIII.
La configuración estudiada hasta ahora se basa en el hecho de que los centros de todos los círculos están dispuestos en una cuadrícula ordenada
Se demostró fácilmente que. en este caso el empaquetamiento hexagonal era el más compacto.
El matemático noruego Duchenne tomó el palo y comenzó a estudiar el caso general de cómo empaquetar de manera más compacta cuando los círculos están dispuestos al azar.
Desafortunadamente, el testigo pasó a la Unión Soviética y un joven llamado Minkovsky emigró a Alemania con sus padres.
Más tarde se convirtió en profesor asistente en el Instituto Federal de Tecnología de Zurich. Muchos estudiantes de su clase faltaban frecuentemente a sus clases. Uno de ellos fue Albert Einstein, el mayor examinador de patentes del siglo XX, señaló que la densidad de empaquetamiento regular de un círculo era al menos 0,8224. No señaló cómo era esta disposición porque temía que Minkowski le robara el protagonismo. Sin embargo, la comunidad matemática creía que su demostración no era perfecta. Treinta años después, el matemático húngaro Toss perfeccionó la prueba del problema del llenado del avión.
Más tarde, las matemáticas de la Universidad de Wisconsin demostraron el problema del recubrimiento plano (el recubrimiento permite la superposición, el relleno no).
Demostró que la disposición hexagonal es el mejor relleno. y la cobertura más eficiente.
Citretto
Se ha completado el relevo matemático del plano bidimensional, y ahora lo que queda por resolver es la prueba del mundo tridimensional.
Para describir el problema tridimensional, debemos partir de otra pista. Los corredores partieron
Newton y su amigo gay David Gregory creían que el número máximo de bolas. una pelota podía tocar una superficie plana era seis.
Llevaron el problema al aire. Una pelota en el aire puede tocar como máximo varias pelotas.
Y tuvieron un acalorado debate, pero su debate fue sólo una cuestión local de Kepler y no sirvió de mucho para probar la conjetura.
(Kepler conjeturó que hay doce bolas alrededor de una bola, y David dijo que una bola en el espacio puede tocar hasta trece bolas. Su discusión terminó en 1953.)
Más tarde, El matemático suizo Bender envió un manuscrito a una revista de matemáticas alemana en un intento de probar el argumento anterior. Su artículo fue perfeccionado por el editor de la revista, Hope, quien publicó el artículo de Bender junto con el suyo.
Parecía que el palo iba sin problemas, pero nuestro esperanzado corredor perdió el palo y su papel resultó fatal.
Este problema fue solucionado posteriormente por holandeses y alemanes.
Los corredores de esta bifurcación del camino han completado toda la carrera. Echemos un vistazo a nuestra trayectoria inicial.
Los jugadores de béisbol son un poco extraños para nosotros hoy en día. Su nombre era Augusto Hipopótamo. Trabajó duro para demostrar que el cuadrado del volumen del cubo dividido por el cuadrado del volumen de la caja retorcida es siempre menor que tres.
Para este número aparentemente sin importancia, escribió un libro de 248 páginas.
A continuación se entregó el testigo al capitán de este relevo maratoniano, el príncipe de las matemáticas Gauss.
Pero un Gaussiano es un Gaussiano.
Pasó página y media siguiendo la prueba de 248 páginas de Hippo, llevando el límite de esta proporción a 2.
¡Qué milagro! Me pareció oír a Gauss desenvainar su espada y gritar: "¡Hemos penetrado la armadura del enemigo! ¡Prepárense para cargar!"
A lo largo de esta página y media, Gauss explicó indirectamente la mayor densidad del más denso empaquetado de círculos. bajo el régimen regular el límite de densidad es 74,05%. (Cuando la pelota está en una cuadrícula tridimensional)
Entonces la pregunta es, ¿qué tipo de superposición puede lograr esta densidad? ¿Kepler? ¿Es este el único?
Durante casi un siglo, el bastón de mando descansó silenciosamente sobre una página y media de la prueba de Gauss.
Hasta el 8 de agosto de 1900 se celebró en París el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos.
El matemático alemán Hilbert planteó 23 problemas matemáticos famosos.
Conjetura de Kepler, pregunta 18.
En ese momento, la carrera de relevos se volvió intensa y los matemáticos querían encontrar una solución más cercana a la conjetura de Kepler. (Por ejemplo, una disposición caótica)
Así que establecieron la densidad del 74,05% como límite inferior y del 100% como límite superior inicial.
Lo que tenemos que hacer ahora es reducir la distancia entre ellos.
El danés Birchfield tomó el relevo, bajó el límite superior al 83,5% y luego se lo pasó al matemático escocés Rankin. Con la ayuda del Laboratorio de Matemáticas de Cambridge, redujo el límite superior al 82,7%.
En este momento, el método de investigación que mencionaron antes llega a su fin y el límite superior no puede seguir disminuyendo.
A Toss, que había tomado el relevo antes, se le ocurrió otro método.
Este método fue propuesto por otro matemático ruso, Voronoi, pero su prematura muerte no quedó bien demostrada.
Sugirió que todo lo que tenemos que hacer es encontrar un cubo llamado unidad V.
Esta célula V necesita tener dos características. En primer lugar, puede llenar un espacio tridimensional sin espacios, como un cubo. En segundo lugar, tiene una pelota en su interior.
De esta manera, el volumen de la pelota permanece sin cambios Mientras se encuentre una unidad V más pequeña, la densidad de llenado de la pelota aumentará.
Rogers de la Universidad de Birmingham utilizó este método para reducir el límite superior al 78% y corrió de manera brillante.
Otros 30 años después, Lindsay del Instituto Tecnológico de California tomó el relevo y obtuvo una buena puntuación del 77,84%. Luego, el matemático Mudd agotó el potencial del método de la unidad V y lo llevó al extremo.
El límite superior se ha vuelto a bajar. Aunque es solo una diezmilésima, no es fácil.
De repente.
Xiang Wuyi, originario de Taiwán y graduado de la Universidad de California, Berkeley, tomó el testigo y cruzó directamente la línea de meta.
Desafortunadamente, su demostración es considerada incompleta por la comunidad matemática y contiene muchas lagunas. ¡Nuestro ataque no logró penetrar el núcleo! ¡Observa las señales de vida del enemigo!
El testigo vuelve al novato Hales.
Mientras el límite superior se reduzca a 74,05, la conjetura de Kepler quedará demostrada de inmediato.
Hales adoptó el método de Delaunay. Suponiendo que el espacio está lleno de esferas, conectamos los centros adyacentes con líneas rectas para obtener muchos tetraedros y luego los analizamos y calculamos.
Sin embargo, Hales no logró muchos avances sustanciales. Este método no reduce el límite superior, pero prueba directamente la conjetura de Kepler. Si no lo logra, no obtiene nada.
Por sugerencia de sus compañeros de Princeton, Hales comenzó a utilizar ordenadores para combatir este problema que llevaba cientos de años sin resolver.
Llevó a cabo un análisis detallado de muchos arreglos posibles.
Sin embargo, los resultados de ejecutar el programa fueron inesperados.
Los resultados muestran que ninguna permutación puede superar el número 74,08%.
¿Eh? ¿74,08%? Esto es diferente al 75,05 acordado.
¡Me caí! Director, ¿me dio el guión equivocado?
Al inspeccionarla, Hales descubrió una disposición extraña que parecía un poco más cercana a la pila de Kepler. Llamémoslo ERROR.
A continuación, su obra se divide en cinco partes. En un resumen sencillo, propone una forma de puntuar cada arreglo. Solo necesita demostrar que las cuatro categorías, excepto la disposición de Kepler, están todas por debajo de 8, y luego demostrar que la disposición de los insectos también está por debajo de 8. La puntuación del arreglo de Kepler es 8.
Las primeras cuatro categorías son fáciles de completar.
Solo queda BUG, aparece esta potente ayuda exterior. Uno de los pacientes del padre del Dr. Hales resultó ser profesor de matemáticas y su hijo se convirtió en alumno de Hales.
Casualmente no hay libros.
Hales esperaba completar un análisis del arreglo fuera de lugar en unos meses.
De hecho, les llevó tres años.
Finalmente, la mañana del 9 de agosto de 1998. Un domingo cualquiera.
Hales se sentó y escribió un correo electrónico contándoles a colegas de todo el mundo que se había demostrado una antigua y compleja conjetura en geometría discreta.
Se adjunta el proceso de investigación y el código del programa informático.
Pero todavía hay mucha gente que tiene dudas sobre este método de prueba exhaustiva.
En este punto, la conjetura de Kepler ha quedado demostrada.
Esta conjetura aparentemente intuitiva tardó 400 años en ser demostrada básicamente.
Este grupo de los genios más destacados de la historia de la humanidad avanzó con valentía y siguió el paso del testigo.
La mayoría de ellos no verán el día en que se demuestre esta conjetura.
Si la verdad y las leyes de este mundo están ocultas en la oscuridad,
Entonces agradéceles por encender la antorcha brillante para nosotros.
Que el fuego nunca se apague.