¿Qué es la ecuación del caos?

No podemos dar una introducción completa y profunda al mecanismo del caos o al problema del camino hacia el caos. Sólo queremos revelar un camino típico hacia el caos a través de un ejemplo simple, para así. nos da una comprensión más correcta del fenómeno del caos. Este ejemplo fue dado por el biólogo May en 1976, que refleja la situación de la reproducción de insectos en la ecología. La reproducción de insectos se puede utilizar como un sistema dinámico. El sistema es un concepto amplio, que consta de estado (y proporciona la cantidad que describe el estado) y características dinámicas (reglas de evolución del estado). Supongamos que el número de insectos en la enésima generación de un determinado insecto es nx 1+n El número. de insectos en la generación es 1+nx, entonces la ley de evolución de este insecto se puede expresar como)1(1nnnxxx-=+λ,3,2,1=n donde λ es el parámetro y el número de insectos en la generación 1+n generación es proporcional a El número de insectos de n generaciones debe restarse del número de muertes de insectos causadas por alimentos limitados y por infección por contacto. Debido a la presencia del término 2nxλ en la ecuación, se convierte en una ecuación iterativa no lineal. Esta relación iterativa también se denomina mapa logístico. Para simplificar, sea el rango de valores de nx y el rango de valores de λ. Al iterar desde cualquier valor inicial, generalmente hay un proceso transitorio, pero cuando el número de iteraciones es muy grande, es decir, cuando ∞ → n, la evolución conducirá a un cierto estado final. Lo que nos preocupa es el final. estado, y el estado final tiene una gran relación con el valor del parámetro λ. Los resultados del cálculo numérico son los siguientes

El valor final de λ

4.2=λ

1271==+nnxx

(No se mueve el punto) El periodo es 1.

2.3=λ

nnxx=+2

0513.05799.0 El periodo es 2.

5.3= λ

nnxx=+1

|←←-

-→→

9500.00875.0

9862.08382.0

| El período es 4.

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Bifurcación de duplicación de períodos con período 16, 8, etc.

Proceso

4~569.3=λ

Básicamente una región caótica (es decir, el período es ∞), con ventanas periódicas y una cierta estructura

Supongamos que ξ=∞→nnx, entonces la relación entre el conjunto de estados finales ξ y λ se puede representar en la Figura 4. (diagrama esquemático). , no dibujado a escala). Podemos ver el proceso de generación y desarrollo del caos. Cuando 13 >> λ, iteración El estado final de es un valor definido (o punto fijo), no importa cuál sea el valor inicial. es el mismo valor. Este valor solo está relacionado con λ y corresponde al valor de λ uno a uno, por ejemplo, cuando 4.2 = λ, 127 = ξ Después de alcanzar el estado final, cada iteración vuelve al valor anterior a la iteración. entonces el período es 1.

Cuando 3449.3>>λ, puedes ver la curva. Se bifurca en 2 ramas comenzando desde 3=λ, es decir, habrá 2 valores de ξ correspondientes a un λ valor. El estado final es que los 2 valores se turnan para tomar valores y regresan al valor original después de 2 iteraciones, por lo que el período es 2

Cuando 449.3544.3>>λ, el. La curva se bifurca aún más. El estado final es que 4 valores se turnan y el período se convierte en 4. Cuando λ continúa aumentando, la curva continuará bifurcándose. La bifurcación ocurre en períodos de 32, 16, 8, etc. se llama proceso de bifurcación de duplicación del período.

Cuando 569.3=λ, el período se convierte en ∞, es decir, el estado final puede tomar un número infinito de valores diferentes, el estado final es extremadamente sensible al valor inicial. , haciéndolo impredecible, es decir, antes de esto (es decir, cuando 569.3<λ), el estado final es periódico, predecible y consistente con el valor inicial. Irrelevante. es básicamente un área caótica, pero no es monolítica. También hay estructuras como ventanas periódicas.

Para tener una comprensión perceptiva del fenómeno caótico, tomamos 4=λ Los resultados del cálculo numérico. se enumeran en la tabla. La diferencia entre los tres valores iniciales es muy pequeña y solo hay una diferencia en el séptimo y octavo decimal.

Los resultados obtenidos después de 10 iteraciones no son muy diferentes. Después de 50 iteraciones, los resultados son muy diferentes. La sensibilidad a los valores iniciales está completamente demostrada. La diferencia entre los tres valores iniciales es tan pequeña que puede no serlo. físicamente distinguibles. Y considerarlos como el "mismo" valor inicial.

En las primeras 10 iteraciones, casi tienen la misma ley de evolución, es decir, la evolución es predecible. tres "iguales" El valor inicial produjo resultados muy diferentes, como si la aleatoriedad apareciera en la ley de evolución. Este es el fenómeno del caos

n )1(41nnnxxx-=+

. 0 0,1 0,100 000 01 0,100 000 1

1 0,36 0,360 000 003 2 0,360 000 032 0

2 0,921 6 0,921 600 035 8 0,921 600 358 4

10 0,147 836 559 9 0,147 824 444 9 0,147 715 428 1

50 0,277 569 081 0 0,435 057 399 7 0,937 349 588 2

51 0,802 94 386 2 0,983 129 834 6 0,104 139 309 1

52 0,634 955 927 4 0,066 342 251 5 0,373 177 253 6

2. Constante de Feigenbaum

En 1978, Feigenbaum descubrió que en el período se duplica. Hay constantes universales en el proceso de bifurcación. Sea mλ el valor del parámetro del m-ésimo punto de bifurcación. Podemos ver en la figura que la distancia entre los puntos de bifurcación adyacentes se vuelve cada vez más pequeña con el proceso de bifurcación. la proporción de intervalos de bifurcación adyacentes tiende a una constante 9990102609201669.4lim

1

1==

-

-

+

-

∞→

δ

λλ

λλ

p>

mm

mm

m

Esta constante es universal y se denomina constante de Feigenbaum. Bifurcación de duplicación del período. El proceso es un camino típico. Este no es solo el caso del mapeo logístico, sino que los experimentos han demostrado que muchos fenómenos caóticos, como los de las vibraciones inversas forzadas del péndulo y los movimientos pendulares forzados de gran amplitud, etc., pasan por este proceso. También existe en estos procesos.

Tres, bifurcación invertida

La estructura existente en la zona caótica se explicará a continuación. En primer lugar, hay una bifurcación invertida y, en segundo lugar, allí. Hay muchas ventanas periódicas.

Cuando el parámetro λ disminuye gradualmente de 4, la zona caótica sufrirá un fenómeno de bifurcación invertida. Al principio, la zona caótica es una pieza entera, pero cuando λ disminuye a Cuando λ. es menor que un valor de 6678.3)1(=λ, la única pieza del caos comienza a cambiar y su valor salta de uno a otro. Cuando λ disminuye aún más a lo largo de 6592.3)2(=λ, las 2 piezas del caos se dividen en 4 piezas λ continúa disminuyendo y se dividirá en 8 piezas, 16 piezas, 32 piezas... y así sucesivamente. El valor de bifurcación)3()2()1(,,λλλ converge a .9569.3. El proceso de bifurcación invertida es como se muestra en la figura. La relación de distancia entre valores de bifurcación adyacentes converge al número de Feigenbaum, es decir,

δ

λλ

λλ

=

-

-

+

-

∞→

) 1()(

)()1(lim

mm

mm

m

Cuatro, Ventana

También hay una ventana en la región caótica de 4569.3≤≤λ (la que se dibuja en la imagen), lo que significa que cuando λ toma un valor dentro de un cierto rango, el estado final es una solución periódica estable, lo que significa un hecho que se puede observar en experimentos físicos o cálculos numéricos por computadora como en 885.

Hay una ventana en el intervalo 6.34828.3≤≤λ Cuando 828.3=λ, aparece una solución con período 3 y aparecen tres curvas en el gráfico. A medida que el valor de λ continúa aumentando, se producirá el proceso de bifurcación de duplicación. nuevamente aparecieron sucesivamente soluciones con períodos de 24, 12 y 6, y cada una de las tres primeras curvas evolucionó hacia una zona caótica. Finalmente hay tres zonas caóticas en cada zona caótica, otro proceso de bifurcación inversa, y también hay periódicas. ventanas en la región caótica.

Vemos que la evolución en el intervalo 4~1=λ es completamente similar a la evolución en la ventana 8856.3~4828.3=λ, solo que la escala es diferente. La ventana que comienza en el período 3 se llama ventana 3. Además de esta ventana, hay muchas otras ventanas.

Como se mencionó anteriormente, también hay ventanas en la zona caótica dentro de la ventana 3 y, por analogía, son similares. La evolución se repetirá dentro de esta ventana más pequeña. Por lo tanto, teóricamente se puede imaginar que esta es una imagen hermosa, que muestra estructuras autosimilares infinitamente anidadas. Todas ellas ilustran el caos. Existe una diferencia fundamental entre los fenómenos y los fenómenos aleatorios.

Este capítulo se centra en el fenómeno del caos revelado en la investigación no lineal desde la década de 1960. Surge de sistemas no integrables. Debido al comportamiento a largo plazo de la solución de la ecuación, el valor inicial apareció durante. En el mismo período, la investigación no lineal también reveló el fenómeno extremo opuesto y descubrió la existencia de ondas solitarias (o solitones) que se generaron a partir de un lote de sistemas integrables completamente no lineales, sus soluciones son regulares y sorprendentemente estables. p>Muestra que la no linealidad también juega un papel importante en la producción de orden. Además, los científicos también han encontrado formas de resolver este tipo de ecuaciones no lineales.